Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 150

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ФОРМУЛА

СИЛЬВЕСТРА

53

с матрицей

 

 

 

 

 

0

0

0

— г

1

 

0

0

0

0

— £

 

0

0

0

0

0

 

i

0

0

0

0

 

£

г

0

0

0

 

где £ — произвольное

комплексное

число? Как

зависят ранг г6

п сигнатура ев формы

А 6 (х , з)

от переменной

£?

 

3.

Можно ли определить

сигнатуру

щ (ганкелевой — см.

§ 5, упражнение 2) квадратичной формы

 

 

 

 

A t (*, х) =

I» - Ц +

Ц +

% -

2Ы г +

2Ы:

с матрицей

1

0

—1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

—1

0

1

 

 

 

 

■1

0

1

0

 

 

 

 

0

1

0

1

 

 

рассмотрев какую-нибудь более простую квадратичную форму?

Ук а з а н и е . Применить предложение 1°.

§7. Формула Сильвестра и приведение

эрмитовой формы к сумме квадратов по методу Якоби

7.1.Вернемся к эрмитовым формам

П

А (а:, х) = 2

= Ап {х, х)

1,3=1

 

сдискриминантом \А \= Ап и усеченным формам A h (х, х)

сдискриминантами

Ah = detIагУIf,j=i (к = 1, 2, ..., п — 1), А0 = 1.

Для упрощения дальнейших записей целесообразно несколько расширить употребление введенного в самом

начале (см. п, 1.1) символа

А1\}

обозначая таким

образом в дальнейшем

определитель

любого

порядка

Р

составленный из строк матрицы А с номерами гх,

i2,

ip и столбцов с номерами ju / 2, ..•,/?• При этом оба

этих

набора не обязательно расположены в

порядке

54

ОБЩАЯ

ТЕОРИЯ

МАТРИЦ

И ФОРМ

 

[ГЛ. I

возрастания индексов и в них возможны (а при р

 

п, ра­

зумеется, неизбежны) повторения.

С и л ь в е с т р а ) .

Т е о р е м а

7.1

( ф о р м у л а

Если при

некотором

г (1

г ^

п)

имеем Дг

0,

то

 

 

ап

 

aia

. . .

а1г

А\ (х)

 

 

А (х, х) =

1

азl

 

азг

* • •

Qqr

A t (х)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ап

 

^г2

. . .

arr

.4 г (х)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A t

(*)

- М * ) . . .

Л г (х)

0

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

т i\

-

(7.1)

 

 

 

Гi.1=1

1

2

 

г ,)

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где А, (х) =

2

 

(/ = 1, 2 ,.. ., га) — линейные формы.

 

1=х

 

 

 

Для установления формулы

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Сильвестра (7.1)

умножим обе ее части на Аг и перенесем

влево первое слагаемое правой

части.

Получим

слева

 

ап

 

aia

 

■ ■

я1г

 

И

 

 

 

Я21

 

Я23

 

 

я2г

A t (х)

 

 

 

аг1

 

“ г2

 

а тг

А г (х)

 

 

 

A t

(х)

А 2 (я) .

 

А г (*)

0

 

 

 

art

atз . . .

а1г

A t

(х)

 

 

 

 

aai

азз

 

 

 

 

 

 

а2г

A t

(х)

 

 

 

+

аП

ЯГ2

. . .

 

0

0

. . .

 

 

ап

 

 

азг

 

+

 

 

 

ап

 

 

A t ( x )

атг

0

Я]2

азз

ЙГ2 /4а (ж)

Аг (*)

А(х, х)

. . .

. . .

. . .

а1Г

A t

(х)

 

 

Я2Г

A t

(х )

ЯГг

А г (х)

Лг (х)

 

0

§ 7]

ФОРМУЛА СИЛЬВЕСТРА

55

ап

ап

. .

 

 

0lr

^1 (*)

 

ап

а%а

• •

 

 

а2г

(*)

_

 

 

 

 

 

 

 

®п

Ао (ж) . .

.

 

aTr

Ar(ж)

 

А\ (ж)

•

 

^т- (*) Л (ж,ж)

ап

 

ап

.

. .

я1г

n

 

i=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

ачх

 

ап

.

. .

a2r

2

 

 

 

'

'

‘

 

i—l

'

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

ап

 

ат%

■ ■ •

агг

2

п

п

 

 

 

П

 

3=1

 

 

 

 

n

‘2 ai&

2

 

.

.

. 2 <4rZl

i,j=l

=* 1

i=l

 

 

 

i=l

 

Применяя к последнему определителю теорему сложения,

разобьем его на л2

слагаемых, каждое из которых име-

ет вид

 

 

 

 

 

 

 

ап

aia . .

air

aii

 

 

 

aai

аза

. •

A r

a2i

 

(i, / = 1 ,2 ,. •.,«)■

en

йг2

4 *

arr

ih -

arj

 

 

 

ail

 

‘ ‘

air

ац

 

 

 

Сумма этих выражений по всем i и j дает

 

 

.bi,3=l G

2 .

r

1 /

iil/.

(7.2)

 

2 .

 

 

 

 

Г

£)

 

что и требовалось доказать.

Заметим, что при г = л все слагаемые суммы (7.2) равны нулю, а при г < л в ней аннулируются те слагае­ мые, у которых хотя бы один из индексов t, / не превосхо­ дит г.

56

ОБЩАЯ

ТЕОРИЯ

МАТРИЦ И ФОРМ

[ГЛ. I

С л е д с т в и е .

Пусть

ранг формы А (х, х)

равен

г и Аг Ф 0.

Тогда

 

 

 

Д 11

аха

 

Д 21

ага

.

1

 

 

“ S 7

ЯГ2

 

ап

 

Ах (х)

Л*(«) .

•

V

Ах (*).

 

а2г

Аг (х)

 

(7.3)

 

 

■

a TT

А т(*)

■

А т(х)

0

Это соотношение известно в литературе как тождество Кронекера.

7.2.Если ранг эрмитовой формы

 

 

П

 

 

А (х, х) =

2 <Zi£iI,

(7.4)

 

 

i,3=l

 

равен г (1 ^ г

п), то эта

форма (см.

§ 5, предложение

1°) может быть приведена к сумме г независимых квадра­ тов. В некоторых случаях такое приведение может быть

осуществлено

очень просто

по стандартным

формулам.

Рассмотрим, в частности, метод Якоби.

 

Т е о р е м а

7.2.

Пусть ранг эрмитовой формы (7.4)

равен г и Aj Ф 0,

Д2 Ф 0, ..., Дг ф 0.

Обозначим

Xi (х) - A~i(х),

Хк(х) =

 

 

 

ап

аи

. .

'

°1, к-1

а1к

 

 

ая.

агг

. .

•

а2, fc-1

а2к

{к = 1, 2 , . . . , г).

 

“ ft-l, 2

• '

•

ак-1, к-1 аЛ-1, к

“ ft—1,1

 

 

Л1(г) ^2 (х)

. . ■ Ак_г (х) А к (х)

 

 

Тогда

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А (х, х) = 2

i * fc(*)it

 

(7.5)

 

 

дгг-1Дк

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Отправляясь от образца,

который

дает

тождество

Кронекера

(7.3),

определим

§ 7] ФОРМУЛА СИЛЬВЕСТРА

эрмитовы формы

«И

ап

.

•

а1к

«21

а%з

 

■ '

а2к

Вк(х,х) = — J -

 

 

 

 

а к

 

 

 

 

ак1

ак2

 

■

акк

А\ (х)

А* (х) •

• А к (х)

(к

57

A i (х)

А2(х)

Ак (х )

0

=1 ,2

Умножим обе ласти каждого из этих равенств соответст­ венно на (— Aft), а затем применим к определителю в пра­ вой части тождество Сильвестра в форме (2.5) (см. § 2),

где роль числа п в данном случае

играет к

1.

Получим

Вк (х,

х)

_____

 

 

= Ль (—

В к. г (х, a^Afc-i) - X ft(z)

X h (x) (k =

2,

3, ..., r).

Перепишем эту цепочку тождеств в виде

Вг{х,х) =

Вх (х,х) +

' ^ Г - ,

^з(®,*) =

^.(я?,я:) +

 

I

вг{х, х) = 5 Г_! (х, х) +

 

u r -la r

Если ее дополнить еще одним непосредственно проверяе­ мым тождеством

В1 (х, х)

I *1 и г-

Д0Д1

 

и сложить все выписанные тождества почленно, то после упрощений получим

Вт( х , х ) = 'п I (х) |2

к=1 к-1^к

Остается заметить, что в силу тождества Кронекера (7.3)

г

Вг (х, х) = А (х, х).

З а м е ч а н и е . В силу предложения 3° из § 5 линей­ ные формы Хг (х), Х 2 (х), ..., Х т(х) линейно независимы, в чем нетрудно убедиться и непосредственно.

Смотрите также файлы