Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 151
Скачиваний: 0
58 |
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ |
8ГЛ. t |
Примеры" и упражнения
1.Пусть задана эрмитова форма
А (х, X) = |
2 I El I2 + (1 + |
0 |
Eil. + |
(1 - |
О I * |
+ |
|Е. 1а + |
|
|
с матрицей |
|
|
|
|
|
|
+ 2ExEa + |
2 lxE. |
|
|
|
2 |
1 + £ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
А = |
|
1 — i |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
Представить А (х , х) по формуле Сильвестра (7.1) |
при г = 2 (здесь |
||||||||
Д2 = _ |1 + £> = _ 2 ф 0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Для слегка видоизмененной по сравнению с упражнением 1 |
||||||||
формы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А { х , х ) = 2 \ Ех I3 + (1 + |
0 |
Eil* + |
(1 - |
0 l i h |
+ |
I Is I2 + |
|
||
с матрицей |
|
|
|
+ 2Eil. + |
2&Б, + |
lafs + |
Ы* |
||
|
|
2 |
1 + £ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
А = |
|
1 — » |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
тождество |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A (x, x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ _ 1 _ |
2 |
|
|
1 + i |
2|г + |
(1 + |
l)Ea + 2 ls |
||
1 — i |
|
|
0 |
|
( 1 - I ) f i + E . |
|
|||
— 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2?i + ( l - 0 5* + 2E. (l+OSi+Sa
Как проверить его, не раскрывая определитель в правой части?
3. Доказать, что для вещественной (ганкелевой) квадратичной формы
п—1
А {х, х ) = ^ *}+кЦ к
Й-Я-=0
порядка л О - 2) с матрицей
50 |
Sl |
. |
. |
• |
»n _ l |
«1 |
S2 |
• |
■ |
• |
sn |
V - l |
sn |
• |
■ • |
S2n-2 |
|
а |
а d |
. . . |
а + (^ — 1) d |
о. -}—d |
и "I- 2d . . . |
я Tid |
|
а + (л — 1) d а nd . . . |
а (2л — 2) d |
§ 8] сигнатурное Правило якови я его обобщения 59
при а ф О и d ф 0 справедливо каноническое представление
l f i a + ЮЦ]*
А (х, х) =
|
[а 2 |
(а + |
(/ + 1) d} 5, - (а + |
d) |
(а + |
/d) %] |
|
|
'----о |
|
ай2 |
7=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, при л = |
2 |
|
|
|
|
|
|
Л (*, х) |
= в£* + 2 (а + |
d) |
+ (а + 2d) |
= |
|
|
|
|
|
|
- |
[ago + |
(a + d)Si]« |
_ d°<i |
|
|
|
|
|
|
а |
|
а |
У к а з а н и е . Воспользоваться |
результатами |
упражнения |
|||||
2 к § 5 |
и методом Якоби (теоремой 7.2). |
|
|
|
|||
§ 8. Сигнатурное правило Якоби и его обобщения |
|||||||
8.1. |
В различных приложениях теории эрмитовых и |
||||||
квадратичных форм часто возникает задача об определе |
|||||||
нии сигнатуры а = |
я — v формы А (х, х) (см. п. |
5.2) без |
|||||
приведения этой формы к сумме независимых квадратов. В настоящем параграфе приводятся правила, позволяю щие в некоторых случаях определять числа я и v, ес ли известны ранг г и последовательные главные миноры
(1 = ) Д0, Ax, Д2, .... Дг-1 , Дг формы А (х, х). |
|
Прежде всего сформулируем непосредственное след |
|
ствие из теоремы 7.2: |
п р а в и л о |
Т е о р е м а 8.1 ( с и г н а т у р н о е |
|
Я к о б и ) . Если ранг эрмитовой формы |
|
П |
|
А (ж, х) = 2 |
|
г,7'=1 |
|
равен г и отличны от нуля последовательные главные ми
норы |
Дц Д2, А*—1 , ДГ1 то |
я = |
5s (1, Д,, Д„ ..., Дг), v = Г (1, Дц Д2, ..., ДГ), |
( 8. 1)
где символами 3й и W обозначены соответственно количест
со |
ОБЩАЯ |
ТЕОРИЯ |
МАТРИЦ И ФОРМ |
[ГЛ. I |
во |
знакопостоянств |
и количество знакоперемен в наборе |
||
чисел, стоящем в скобках после этих символов. |
|
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
усматривается непосредст |
||
венно из формулы |
(7.5) и замечания к теореме 7.2 |
*). |
||
8.2.При всей своей привлекательности правило Яко
би страдает тем очевидным недостатком, что опирается оно на весьма ограничительные условия:
Ai Ф 0» Дг Ф 0, •••, Дг-1 7^ О, Дг =£= 0. |
(8.2) |
Нарушение хотя бы одного из них лишает смысла не толь ко формулу (7.5), из которой мы вывели правило Якоби (эту трудность, как видно из подстрочного примечания на этой странице, можно обойти), но и сами выражения (8.1). Поэтому еще в прошлом веке возник вопрос о возможно сти сохранения правила (8.1) и в тех случаях, когда неко торые из миноров Ajl, Д2, ..., Аг равны нулю. Точная по становка вопроса такова:
Пусть известны знаки плюс или минус тех из миноров
(1 = ) До, Дъ Д2, ..., Аг_15 Дг, |
(8.3) |
которые отличны от нуля. Можно ли при этом условии приписать знаки плюс или минус остальным (т. е. равным нулю) минорам из (8.3) так, чтобы сохранили силу равен ства (8.1)?
Чтобы показать нетривиальность этого вопроса, нач нем с одного негативного результата, приводимого обыч но в учебниках (см. [4]).
П р и м е р 8.1. Пусть а и Ь — вещественные числа, a =j= Ъ, аЪ Ф 0; рассмотрим квадратичную форму
А (х, |
х) = а£х 4* а %2 -}- ЬЪ -J- 2а (^|2 -|- £г£з 4" ?3^i) |
||
________________ |
|
(8.4) |
|
*) С помощью теоремы 6.3 легко получить другое доказательство |
|||
сигнатурного правила Якоби. В самом деле, если (Д0 = |
1), Ai Ф 0, |
||
Да Ф 0, |
..., Дг ф 0, где г — ранг |
формы А (х , х), то |
при к ^ г |
переход от формы . 4 ^ (х, х) к А к (х, |
х) сопровождается повышением |
||
ранга на единицу, а потому в силу теоремы 6.3 форма А к (х, х) при обретает по сравнению с А (х, х) либо один положительный квад
рат (т. е., согласно предложению 2° из § 5, приобретает дополнитель но одно положительное собственное значение), и тогда, согласно (4.3), 0, либо отрицательный квадрат, и тогда Д)£_1Д)£< 0.
Отсюда и следует правило Якоби.
§ 8] СИГНАТУРНОЕ ПРАВИЛО ЯКОБИ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 61
порядка п = 3. Ее матрица
а |
а |
а |
А = а |
а |
а |
а |
а |
Ъ |
имеет |
ранг г = 2, причем |
|
|
|
|
||
До = |
1) |
= а(фО), |
— |
а |
= О |
(т. е. Дг = 0). |
|
| |
|
|
|||||
Форму (8.4) легко преобразовать к сумме независимых |
|||||||
квадратов, |
переписав ее в виде |
|
|
|
|||
|
А (х, х) = а (£х |
+ |
§2 + |
£3)2 + |
( Ъ - а)Ц. |
(8.5) |
|
Зафиксируем, например, а |
0. |
Этим самым в наборе Д0, |
|||||
Дх, Д2 зафиксированы определители Д0, Дх и (подавно) |
|||||||
их знаки. Между тем, |
выбирая Ъ)> а, видим (из (8.5)), |
||||||
что у формы А (ж, х) сигнатура а |
равна 2 (я = 2, v |
= 0). |
|||||
Если же Ъ< |
а, то а = |
0 (я = 1, v = |
1). |
|
|
|
|
|||||
Таким образом, при Дг = |
0 даже знаки всех прочих от |
|||||||||||
личных от нуля миноров Д„, Д1; ..., Д,.^ из (8.3), вооб |
||||||||||||
ще говоря*), |
не определяют сигнатуры |
формы А (х, х). |
||||||||||
Поэтому в поисках обобщения правила Якоби за счет ос |
||||||||||||
лабления условий (8.2) |
последнее из них (Дг =j= 0) всегда |
|||||||||||
сохраняют в силе. |
второй |
половине |
X IX |
столетия |
сперва |
|||||||
8.3. |
Уже |
во |
||||||||||
С. Гундельфингеру |
[46], |
а |
затем |
Г. |
Фробениусу |
[44] |
||||||
удалось обобщить правило Якоби на случай, |
когда в (8.3) |
|||||||||||
имеются изолированные нули, т. е., например, |
Д,,^ =f= 0, |
|||||||||||
Дй = 0 , |
ДА+1 |
ф 0 |
(С. |
Гундельфингер), |
либо |
изолиро |
||||||
ванные пары нулей: |
ф 0, Ah = |
Дй+1 = 0, Дh+гф 0 |
||||||||||
(Г. Фробениус). Приведем соответствующие |
этим |
слу |
||||||||||
чаям правила, выведя их из теорем |
6.1—6.3. (ср. [26]). |
|||||||||||
Т е о р е м а |
8.2 |
( п р а в и л о |
Г у н д е л ь ф и н |
|||||||||
г е р а) **). Пусть в наборе |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(1 |
= ) Д 0, |
Д ц |
Д 2 1 •••! Д г- ll |
Д г |
|
|
(8 .6 ) |
|||
*) По поводу этой оговорки см. ниже конец п. 8.4.
**) Для случая форм третьего порядка это правило было извест но уже Гауссу [12].