Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Тогда A ^ A m i < 0 и сигнатурное правило Якоби (8.1) сохраняет силу, какой бы знак (плюс или минус) ни при­ писать (нулевому) минору Ah.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим усеченные формы

ной) формы A m i (т, х) равен к -j- 1. Теорема 6.1 позволя­

разнятся на две единицы, то у формы А Л+1 (х, х) ровно на один положительный квадрат (т. е. на одно положитель­ ное собственное значение) и ровно на один отрицатель­ ный квадрат (т. е. на одно отрицательное собственное зна­ чение) больше, чем у формы A (х, х). Поскольку же дис­ криминанты Ай-! и Д,1+1 равны соответственно (см. (4.3)) произведениям всех собственных значений указанных форм, то знаки этих дискриминантов противоположны (в состав сомножителей, образующих АЛ+1, входит «лиш­ нее» отрицательное собственное число): A^Ak+i < 0.

*) Поэтому и сигнатуры форм А Л-1 (х, х) п А к (х, х) одинаковы — см. теорему 6.2.

ровно на одну знакоперемену и на одно знакопостояиство больше, нежели в наборе

(1 = ) Д()! ^11 •••>

т. е. для формы Я й+1 (х,х) осталось в силе правило Якоби. Верно это правило и для всей формы А (х, х) = А п (х , х),

(см. теорему 6.3) либо еще одно положительное собственное

Из приведенного рассуждения ясно, что правило Гундельфингера можно применять и в том случае, когда в (8.6) есть несколько «изолированных» нулей, т. е. ситуа­ ция (8.8) повторяется при нескольких значениях индекса к.

щих подряд минора, а соседние с этой парой (слева и справа) миноры отличны от нуля:

Д/1-1 Ф 0, A h — Aft+i = 0 , Aft+2 Ф 0 .

Если приписать минорам Аки AJi+1 одинаковые знаки {любые)

дискриминантами A;i_x, Дй, Д,!+1, Д,1+2 соответственно. Ранг формы (х,х) равен к — 1 (Ди ф 0). Таков же ранг вырожденной формы A h (х , х), а потому и сигнатуры этих форм одинаковы (теорема 6.2). Ранг формы А/1+2(х, х) равен к -f- 2 (Дй+2 ф 0 ) , а потому у формы Я й+1 (х, х) ранг не меньше к (следствие из леммы 6.1). В то же время он не превышает к, ибо Ah+1 = 0.

Итак, ранг формы А к+1 (х, х) равен к. Поэтому (теоре­ ма 6.1) сигнатуры форм A k+1 (х, х) и Я /1+2 (х, х) одинаковы.

либо один отрицательный квадрат (теорема 6.3). Стало быть, форма А к+2 (х,х) по сравнению с А к-Х(х,х) приобре­ ла либо два положительных квадрата и один отрицатель­

правилу, указанному в формулировке теоремы, получим в наборе

и Д/о Д/i+n A/i+2

в первом из названных случаев два знакопостоянства и одну знакоперемену, а во втором — одно знакопостоянство и две знакоперемены. Остается повторить то же заклю­ чительное рассуждение, что и в доказательстве правила Гундельфингера — теоремы 8.2.

З а м е ч а н и е . Из формулировок и доказательств теорем 8.2 и 8.3 видно, что они, как и исходное правило Якоби (см. (8.1)), которое эти теоремы обобщают, сохра­ няют силу для (вещественных) квадратичных форм

дят на мысль о возможности дальнейших обобщений сиг­ натурного правила Якоби. Однако в общем случае (т. е. для п р о и з в о л ь н ы х эрмитовых и квадратичных форм) здесь нас, как и в п. 8.2, ожидает разочарование. В этом убеждает следующий пример ([4], стр. 275).

коэффициенты, А (ж, х) — квадратичная форма четвертого порядка с матрицей

3.Вычислить сигнатуру а эрмитовой формы

Ответ, a = 2.

У к а з а н и е . Воспользоваться правилом Фробениуса (тео­ ремой 8.3).