Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

68 ГАНКЕЛЕВЬ! МАТРИЦЫ И ФОРМЫ trji. It

у которой левый верхний угол («блок») совпадает с данной

Особым продолжением матрицы Нп-г называется та­ кое ее продолжение, ранг которого совпадает с рангом мат­ рицы

Ниже будет изложен метод изучения ганкелевых мат­ риц путем построения особых продолжений некоторых их «блоков» и сравнения заданных матриц с этими особы­ ми продолжениями. Но для развития указанного метода прежде всего следует выяснить, всегда ли у данной мат­ рицы Нп-г существуют особые продолжения (хотя бы по­ рядка п + 1) и каков их «запас». Наиболее просто эта за­ дача решается для н е о с о б е н н ы х ганкелевых мат­

*) Мы здесь (и в дальнейшем — на всем протяжении глав II и III) в связи со специальным способом нумерации элементов ганкелевых и теплицевых матриц сознательно изменяем обозначения, при­

менявшиеся в главе I для последовательных главных миноров: минор Д/г порядка к (см. п. 6.1) теперь обозначается (к— 0, 1, ..., п).

§ 9] ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ. ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ 69

функцию двух переменных

Задача, очевидно, сводится к решению алгебраического

после чего достаточно положить s2n-l = х, sZn = у, и ис­ комое продолжение будет найдено.

из которого сразу следует (поскольку D n-XФ 0) утверж­ дение теоремы. Более того, мы видим, что при л ю б о м выборе х = s2n-i найдется единственное y ( — s2n), дающее в паре с х особое продолжение Нп матрицы Нп-1г

ве щ е с т в е н н ы е особые продолжения. Поскольку

вэтом случае все коэффициенты в (9.1) вещественны, уравнение (9.2) задает в плоскости (х, у) при а Ф 0 пара­ болу, а при а = 0 — прямую линию. Из структуры оп­

ределителя D n {х, у) легко, между прочим, видеть, что

а= — D n-2.

9.3.Несколько сложнее решается более важная для

нас задача об особых продолжениях о с о б е н н ы х

ганкелевых матриц Нп-г (Пп-i = 0).

Т е о р е м а 9.2 ( в т о р а я т е о р е м а о п р о ­ д о л ж е н и и ) . Пусть Нп-г — особенная ганкелева мат­ рица и ранг ее *) р (<С п). Если главный минор Dр_х ф 0, то существует единственная пара чисел S2n-i, s2п>

*) Для рангов ганкелевых (а в главе III и теплицевых) матриц мы, вместо применявшегося в главе I обозначения г, будем писать р, резервируя букву г для других целей (см. ниже §§ 10 п И).

определяющих особое продолжение Нп порядка п + 1 мат­ рицы Нп-г.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В случае р == 0 утвержде­ ние теоремы очевидно: s2n-1 — s2n = 0. Пусть теперь р > 0 . Выпишем подробней матрицу Нп-Р-

(9.3)

Поскольку Dp^ Ф 0, первые p строк матрицы^Дп_х линей­ но независимы, а остальные (так как ранг равен р) являются их линейными комбинациями. Запишем, в част­ ности, что (р + 1)-я строка есть линейная комбинация первых р строк (v = р, р -f 1, ..., п -)- р — 1):

р — 1

Докажем, что эта же формула (9.4) остается верной и для

v = п -[- р, п -(- р -j- 1, ..., 2п — 2.

Обратимся к (р + 2)-й строке матрицы Нп-г. Все ее элементы, кроме последнего (sn+p), стоят и в предыдущей строке (со сдвигом вправо на одну позицию, что отмечено на схеме (9.3)), а потому для них формула (9.4) справед­ лива. Проверим теперь ее справедливость и для элемен­ та sn+p- С этой целью умножим вторую строку матрицы Нп-г на cip-x, третью — на ар_2 и т. д., наконец, (р + 1)-ю строку на а0, сложим почленно полученные строки и ре­ зультат вычтем из (р-|- 2)-й строки. Если учесть формулы