Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 155

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 9]

ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ. ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ

71

(9.4), то ясно, что после такого преобразования (которое, очевидно, не изменяет ранг) матрица Нп-г перейдет в

 

*

*

♦

н

,

 

 

 

р-1

*

♦

 

*

s p

s p + l

S7 X + p -2

S7 1 + p - l

0

0

0

t

*

*

*

*

*

*

*

*

где Hp-i — «блок»

матрицы

причем det Н9-х =

= Z)p_j =^=0; звездочками здесь помечены элементы мат­ рицы, не подвергшиеся преобразованию и не имеющие для

нас значения,

а

 

 

t =

.? п + р

П о ^ п + Р - 1

® 1 ^ п + Р - 2

1^71"

Ранг матрицы B n-i равен р.

Поэтому ее минор

 

 

*

 

#

 

H

л

 

 

d e t

 

p-x

 

 

 

*

 

*

 

 

 

0

0 . . . 0 i

0 0 . . . 0

t

равен нулю, как и всякий минор порядка р -{- 1. А так как

Йр-!

ф 0,

то t = 0, чем и установлена формула (9.4) для

v =

л -f

р. Ясно, что повторением этого же приема мы мо­

жем экстраполировать формулу (9.4) и для v = л -)- р +

-f- 1,

.... 2л — 2.

Если бы существовало особое продолжение Нп матри­

цы Нп-1г, то это же рассуждение можно было бы продол­

жить, т. е. получить формулу (9.4) и flnnv

= 2 л — 1, 2л:

s 2 n - l

=

a 0s 2n -2 +

a l s 2 n -3

+

••• +

a p - l s 2 n - p - n 1

, q n

S2n

=

ОоЯгп-! -f-

a ^ n - 2

+

••• +

a p - l S2n-P- /

‘

Этим доказано, что искомое продолжение,

е с л и

о н о

с у щ е с т в у е т , определяется

единственным образом

формулами (9.5).

 

 

 

 

 

 

Остается обратить это рассуждение, а именно: опреде­

лить числа s2n_i, s2nформулами (9.5) и проверить,

что онц

72 ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ [ГЛ. II

задают особое продолжение Нп матрицы Hn-V Но форму­ лы (9.5) вместе с установленными выше формулами (9.4) при v = р, р + 1, ..., 2п — 2 показывают, что и у про­ долженной матрицы Нп каждая строка есть линейная комбинация предыдущих р строк, т. е. все они в конечном итоге суть линейные комбинации первых р (линейно не­

зависимых !) строк.

Стало быть,

ранг матрицы Нп равен р.

Теорема доказана.

условиях

теоремы 9.2

формулами

С л е д с т в и е .

В

(9.4)

при v =

2п — 1, 2п; 2п + 1, 2п +

2; ... рекур-

рентно определяется

бесконечная

последовательность

пар

чисел s2n-r,

s2n>

s2n+i> s2n+2; •••,

задающих особые

продолжения Нп, Нп+1, ... матрицы Нп_х.

 

Таким образом определяется бесконечная последова­ тельность элементов s0, slt s2, ..., s2n-2, s2n^ly..., т. e. беско­

нечная ганкелева матрица

На,,

которую, допуская воль­

ность речи,

можно также считать особым продолжением

матрицы

приписывая матрице Н„

ранг р *).

 

Примеры и упражнения

 

 

 

 

 

 

1. Для гаикелевой матрицы (порядка

п =

3)

 

 

 

 

 

 

I

1

0

1—i

 

 

 

 

 

я а=

0

 

 

 

 

 

рассмотрим продолжения:

||l —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

1 — i

- 3

 

 

 

 

 

 

Я3 =

0

1 — i

— 3

2 + £

 

 

 

 

 

1 —£

— 3

2 + £

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 3

2 + i

0

1

1

0

1 — i

- 3

2 + £

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1 — £

— 3

2 + £

0

 

 

 

 

 

1 — i

- 3

2 + £

0

1

 

 

 

 

 

— 3

2 + i

 

0

1

i

 

 

 

 

 

2 + £

0

 

1

i

- 5

*) Все ее миноры порядка р + 1 равны нулю, так как каждый из них входит в некоторое особое продолжение ^ -;+ v (v > 0) маТ' рицы Нц_у

5 9]

ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ. ОСОЁЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЙ

73

1

0

1 _ г

о

н .*1

_ 3

1 — г

1 СО

2+1

1 СО 2 + г 0

— 3

 

2 + £

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

1 —г

- 3

 

2 + г

 

 

 

 

 

0

1 —г

- 3

2 +г

0

 

 

 

 

 

1 —г

—3

2 + г

0

 

0

 

 

 

 

 

—3

2 + г

0

0

 

0

 

 

 

 

 

2 + г

 

0

0

0

 

0

1

 

0 1 —г - 3 2 + г 0

 

 

 

 

 

 

0 1 — i

 

- 3 2 + г

0 0

 

 

 

 

 

 

1 — i

—3

.2 + г

0

0

0

 

 

 

 

 

 

—3

2 + г

 

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

2 + г

0

 

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

1 — i

 

 

- 3

 

 

 

 

 

 

0

 

1 — i

- 3

 

 

2 + г

 

 

 

 

 

1 — £

— 3

2+ г

 

0

 

 

 

 

 

 

- 3

 

2+ г

 

0

14

 

46

 

 

 

 

 

 

 

17 +

17 г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Легко видеть,

что

Я 4 является также

продолжением

гапкелевой

матрицы Я 3;

матрицы Я 4 и

Я 6 — продолжениями II3, матрица

Я 5 — продолжением матрицы Я 4.

det Яа =

— 4 +

i

ф 0, т. е.

2. Проверить,

что в примере 1

у матрицы Яа ранг

р равен 3. Убедиться, что

D 3 =

det Н 3 Ф О,

т. е. Я 3 не является о с о б ы м

продолжением для Яа. В то же время

D3 = det Я 3 =

0, т. е. ранг Я 3 равен 3 и Я 3— особое продолжение

для Яа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Вычислить для примера 1

определитель

det Н 3 =

D 3 и

убедиться, что Ъ3 ф 0 (как и D3 ф 0); сопоставить

эти

результаты

с равенством D 3 =

0

и теоремой 9.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Ранги

матриц

Я 3 и Я 3 примера 1 совладают и

равны 4.

Поэтому ранги их продолжений IIi и Я 4 (соответственно)

не меньше

4, так что

последние не являются

особыми

продолжениями для

74 ТанЦел евЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ 1гл. II

Яг. Являются ли они особыми продолжениями для Н 3 и Я 3 соот­ ветственно?

Каким

продолжением является матрица Я 6 для Hi, для

Яз

для

Рассмотрим вещественную ганкелеву матрицувторого

по-

5.

рядка

 

 

и ее продолжения:

 

0

1

0

Я г =

1

0

1

 

 

 

 

0

1

0

0 1

0

Яг = 1 0

0

0 0

0

0 1 0 1

я 3 = 1 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 0

0 1

0

1

0

1 0

1

0

1

0 1

0

1

0

1 0

1

0

1

0 1

0

1

0

0 1

0

0

1

0

0

0

Лз = 0 0

0

0

0 0

0

0

0 1

0

0

0

1 0

0

0

0

0 0

0

0

0

0 0

0

0

0

0 0 0 0 0

0 1

0

 

 

0

1

0

0

1 0

0

,

Йа =

1

0

0

1

0 0

1

 

 

0 0

1

0

 

 

 

 

0

i

0

0

Очевидно, матрицы Яг, Я 3, Я 4,

как и Яг,

Я 3, Я 4, ...,

яв­

ляются особыми продолжениями матрицы Hi (их

ранг, как

и у

матрицы Н\, равен 2). Ранг Hi равен 3, так что Яг — не особое про­

должение для Hi. Ранг матрицы Я 3 также равен 3 (проверить)),

так что она является особым продолжением для Яг (ио не для Я]1).

§ 9]

ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ.

ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ

75

Матрицы # 3, # 4,

. . . являются также особыми продолжениями

ганкелевой матрицы По, причем как таковые (но отнюдь не как осо­

бые продолжения матрицы Н\\) они определяются единственным об­

разом (теорема 9.2): здесь п =

3, s5 =

1, so =

0; s7= 1 ,

s8= 0;...

Аналогичная ситуация имеет место для матрицы IIг и ее осо­

бых продолжений

 

Н 3, Н4,

...: здесь снова ге =

3, но s5 =

0,

se = 0 !

s7= 0,

s s = 0;...

Сопоставить эти примеры

с

приведенным ниже

результатом упражнения 7.

 

 

 

 

соотношениях

(9.4) коэф­

6.

Показать,

что

фигурирующие в

фициенты osj ( / =

0, 1,...,

р —

1) вычисляются по формулам

 

 

а ° _ _

Рр-1

, «

1

-

 

Зр-2

 

-

 

Зо

 

 

 

Рр

 

...........р р

 

 

 

 

где р0, Pi, .... Рр_г и Рр ( =

Dp_x ф 0)

— алгебраические

дополне­

ния элементов sp, sp+1, ...,

s2p_t и s2p последней

строки определите­

ля Dр {— 0) соответственно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

В случае

в е щ е с т в е н н о й

ганкелевой

матрицы

Hn_lt

удовлетворяющей условиям теоремы 9.2, ее особое продолжение так­

же вещественно.

 

Воспользоваться

результатом

упражнения 6.

У к а з а н и е .

8. У ганкелевой матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0

 

Sl

 

 

• •

V i

SP

 

 

Sn-1

 

 

 

Si

 

S2

 

 

• •

sp

SP+1

 

 

sn

 

 

 

®р-1 So

 

 

• • ®2P-2

*2P-1

 

 

®n+P-2

 

 

se

 

SP+1

* • • S2P-1

S2P

 

 

sn+p-l

 

 

*n-X

*n

 

 

• •

®n+p-2

®n+p-l

 

• •

s2n~2

 

 

ранга р рассмотрим все миноры порядка р и вида

sa

®a+l

•

'

®а+Р-1

®a+l

Sa+2

■

‘

,l!a+P

Sa+P-1

Sa+P

• ‘

sa+2P-2

К этим минорам при r e > 2, p < re

so

Sl

(£„_!=) А(р0):

•

sp-1

Г(а = 0, 1........

2ге 1—2р).

(9.6)

Sl . . • V i

S2 ■ . ■ SP

. . . • •

SP * • • ®2P-2

Смотрите также файлы