Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

76

ГАНКБЛЕВЫ

МАТРИЦЫ

И

ФОРМЫ

[ГЛ. II

И

Si

S3

. .

р

д(р1) =

«2

S3

. .

sp+l

SP

sp+l

• Я2р-1

Доказать

рекуррентную

формулу

д («)д (0) =

д(“ -1)д(р1)

(а =

1, 2......2п -

2р).

(9.7)

У к а з а н и е .

При

ф 0

воспользоваться

формулами

(9.4)

и результатами упражнения 6. При Д(р0) =

0 и

Д^1' =

0 фор­

мула (9.7) тривиальна. Остается

убедиться, что случай, когда

Д ^ =

0, а Д<« ф

О,

невозможен,

использовав

для этого,

напри­

мер,

тождество

Сильвестра (2.6).

По поводу обобщения последне­

го утверждения см. ниже упражнение 10.

9.

П р и

у с л о в и и Д<®> ф 0 из (9.7)

следует,

что

Д<») =

/

Д(15

\“

(а =

0 , 1, . . ., 2га — 2Р).

(9.8)

/ _

|

_

)

Д «

Если Д<« ф О,

то

(см.

указание

к

упражнению

8)

и Д ^ ф О,

и из (9.8) видим,

что в с е

д£а) ф 0

(а ^

1).

Показать

на

примерах,

что

в последнем утверждении условие

Др0) Ф 0 существенно.

10 (Т. Я.

Азизов).

Если Д ® =

0,

то

Д(р“ >= 0

(а < п - р).

Убедиться на примерах, что при а >

п — р уже возможно неравен­

ство Д^а) ф 0.

У к а з а н и е .

Отбросив у

матрицы Нп_1

первый столбец и

вой) миноры Д^,а) (а

п —

р), опять использовав тот факт,

что при

Д»> =

0 также д£х) =

0.

0

11.

Если в ганкелевой

матрице Нп_1 — II si+3- II

первые

симы, то

ф 0 [4].

У к а з а н и е .

Записать для элементов (h +

1)-й строки фор­

мулы, аналогичные

(9.4), и с их

помощью убедиться, что в

полосе,

состоящей

из h первых строк,

в с е м и н о р ы

п о р я

д к а Л

§ Ю]

ХАРАКТЕРИСТИКА

77

§ 10. ( г , ^-характеристика ганкелевой матрицы

10.1.

Теорема 9.2 открывает путь для установления од­

лезного инструмента исследования ганкелевых

матриц.

Пусть

Hn-i

— |si+i ||i,"j=i — произвольная ганкелева

матрица

порядка

п ()> 0) и ранга Р (0 ^ р ^

п), а

(1 = ) D-lt D 0, Dlt .... D,..x, Dr,..., Z>n_x

(10.1)

наборе (10.1)

п о с л е д н и м (считая слева направо) о т-

л и ч н ы м

о т

н у л я является минор Dг_х. Этим оп­

ределяется целочисленная константа г (0 ^ г ^

р):

ф 0t

0 v -i = 0

( v > r ) .

(10.2)

Ясно, что при 7- =

п ( =

р) второе из этих соотношений от­

следующим образом. При г =

р положим к = 0. Заметим,

что равенство г =

р, в частности, всегда будет иметь место

при р =

0 и р =

п.

рассмотрим «усеченную» матрицу

Если

же г << р, то

so

SJ

.

.

•

sr- l

Sr

Si

S2

•

•

•

sr

_ T41

sr+l

sr - l

*

*

S2r-2

s2 r - l

sr

* ■

S2 r- 1

S2 r

теоремы 9.2)

единственным образом

определяется

б е с ­

к о н е ч н а я

последовательность чисел

S2r+1, '?2r+2i s2r+3i s2l+<l!

■ ■ •)

(10.3)

s 2 r + l>

s 2r+ 2 >

S2r+S >

s 2 r+ 4 > • • • > s 2 n - 3 )

s 2 n - 2

( W . 4 )

бор не пуст, так

как г <

п — 1 (ибо г <

р < п).

Сравним теперь набор (10.4) с последовательностью

(10.3).

Если

бы

sv =

(v

=

2г -)- 1,...,

2п — 2), то

отсюда следовало бы, что р = г,

вопреки условию. По­

этому единственным образом

определяется

натуральное

число к такое, что

s2r+ l ~

s2r+l!

s2r+2

= s2r+2

)• •• !

s2 n -k -2 =

sin -k - 2 i

$2,п-к-1 Ч~ ®2n-lt-l- (10.5)

Таким

образом,

в

д а н н о м

с л у ч а е

0

<; к ^

2п — 2г — 2,

(10.6)

к ^

*) В п. 11.1 будет показано, что всегда г + к < п, т. е. подавно

п; поэтому можно вместо диагоналей здесь говорить о строках

или

столбцах. Этот факт отражен и в приведенной схеме.

^