Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 158
Скачиваний: 0
80 |
ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ |
|ГЛ, И |
Я п_т+1, Я„_т+2 и Т . д. (пока позволяют размеры |
исходной |
|
матрицы Нп-х) будет изменять в характеристике только вторую составляющую, причем всякий раз увеличивая ее на две единицы.
Несколько иная картина получается при нечетном к = = 2т — 1 ( > 0). Матрица Е п- т-\ (см. (10.7)) снова со храняет ранг г (поскольку 2п — 2т — 2 = 2п — к — 3 < < 2п — к — 1) и характеристику (г, 0). Что же касается матрицы Нп- т, то она теперь имеет вид
*о |
h |
* ••sn-m-1 |
^п-т |
|
|
Sn |
••^л-т |
^Л-ОТ+1 |
(10.8) |
|
|
|
’ |
|
,<7' т |
sп rrn\ *■•XZ>! -2т -2 ^ |
|
|
|
т. е. ее (г, ^-характеристика выглядит так: (г, 1). Припереходе к дальнейшим продолжениям Я п_т+1, / / ^ + 2,... эта ха рактеристика будет переходить в (г, 3), (г, 5) и т. д., поскольку снова от добавления строки и столбца «испорчен ная» диагональ, состоящая из элементов s2n-fc-1, будет отда ляться от правого нижнего угла всякий раз дополнительно на две позиции.
Суммируя все это, |
можно утверждать, что доказана |
Т е о р е м а 10.1. |
Пусть в (г, /с)-характеристике |
ганкелевойматрицы Нп-г число к^>0. Обозначим т = j^—у - J ([а] — целая часть а). Тогда ранг матрицы Нп- т-\ ра
вен г, а характеристика ее имеет вид (г, 0). |
У продолже |
|
ния Нп-щ матрицы |
в зависимости |
от четности |
или нечетности к характеристика имеет вид (г, 2) при к =[2т или (г, 1) при к = 2т — 1. У всех дальнейших продолжений Hn- m+v(0 <; v т — 1) характеристика при чет ном или нечетном к имеет соответственно вид (г, 2 + 2v)
или (г, 1 + 2v).
Примеры и упражнения
1. Рассмотрим ганкелеву матрицу (см. |
пример 1 к § 9) |
|||||
1 |
0 |
1 — г |
|
- з |
|
|
0 |
1 — i |
— 3 |
|
2 + £ |
||
% = 1 - |
—з |
2 + г |
|
о |
|
|
— 3 |
2 + J |
0 |
_14_ |
46 |
||
17 + |
17 * |
|||||
|
|
|
||||
§ 10] |
|
ХАРАКТЕРИСТИКА |
|
81 |
Здесь |
0 |
1 — 1 |
|
|
1 |
|
|
||
О/ |
1 — 1 |
— 3 = - 4 + г ф о, а |
= det Нз = О, |
|
1 —г |
—з |
2 + г |
|
|
так что г = 3. Так как, очевидно, для Й 3и ранг р равен 3, то к = |
О, |
|||
т. е. (г, /^-характеристика матрицы Н3 имеет вид (3, 0).
2.Проверить, что у ганкелевой матрицы
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 IU = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0
(г, /^-характеристика имеет вид (2, 2).
У к а з а н и е . Сравнить Я 4 с матрицами Hi, Нз, Н 3 и Я 4 при мера 5 к § 9 и воспользоваться выводами этого примера.
3. Найти (г, /^-характеристику ганкелевой матрицы
0 |
4 |
0 |
1 |
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Ч* |
1 |
0 |
Ч* |
— 6 |
Ответ. (2,1).
У к а з а н и е . Для вычисления константы к можно восполь зоваться формулами (9.4) и результатом упражнения 6 к § 9.
4.Найти (г, /^-характеристику ганкелевой матрицы
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
21 |
1 |
0 |
1 |
0 |
21 |
1 —41 |
0 |
1 |
0 |
21 |
1—41 |
3 |
Ответ. (2, 3).
У к а з а н и е . При вычислении константы к воспользоваться результатом упражнения 7 к § 9.
5. |
Построить ганкелеву матрицу с (г, /^-характеристикой |
(0, 5). |
Найти общий вид всех ганкелевых матриц шестого порядка |
82 |
|
ГАНКЕЛЕВЫ |
МАТРИЦЫ |
И |
ФОРМЫ |
СГЛ. |
И |
||||||||||
с (г, /с)-характеристикой:(0, 5). То |
же — для |
гапкелевой матрицы |
|||||||||||||||
порядка |
п |
1) |
с |
(г, |
/^-характеристикой |
(0, |
т), где 0 ^ т < |
п. |
|||||||||
6. |
Пусть в (г, |
^-характеристике |
матрицы |
Я п_1 = |
|si+J- ||^jL |
||||||||||||
составляющая г удовлетворяет условию |
1 |
|
г < |
п. |
Тогда (г -|- 1)-я |
||||||||||||
строка |
этой |
матрицы |
есть |
линейная |
комбинация |
первых |
г |
ее |
|||||||||
строк [4]. |
|
|
Использовать соотношепия (10.2) и применить |
||||||||||||||
У к а з а н и е . |
|||||||||||||||||
результат упражнения 11 к § 9. |
|
|
|
|
§ 10, лемма 2 и теоре |
||||||||||||
7 (Фробепиус |
|
[44], |
см. также [4], гл. X , |
||||||||||||||
ма 23). В условиях упражнения 6 рассмотрим окаймленные миноры |
|||||||||||||||||
(ср. § 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д - х |
|
|
|
|
r+v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vv = |
|
|
|
|
|
|
(р., v = 0, 1, . . . . л — г — 1) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
S2)4-v-l |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
sr+u • • • S2r+P-1 |
' ' ' |
S2r+p+v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и числа |
t |
___ |
|
|
|
(р, v = |
0 , 1 , . |
. . , |
л — г — 1). |
|
|
||||||
|
|
|
А--1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
матрица |
Тп_г_ г = |
| |
|
ганкелева |
и |
все элементы, |
||||||||||
расположенные на ее побочной диагонали и над нею, равпы нулю, |
|||||||||||||||||
т. е. |
= tp+v (р, |
v = |
0, 1,..., п — г — 1); |
/„ = |
U= |
. . . = in_r-a = |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
О |
|
|
0 |
|
|
tn - r |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
l n - r |
|
|
^n-r+ 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
*2n-2r-4 |
*2n-2r-s |
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
*2 rt-2 r- 2 |
|
|
|||
У к а з а н и е . |
|
Рассмотреть |
усеченные |
|
матрицы |
|
— |
||||||||||
— II V* 1Д = о (Я = |
|
1, 2, . . . , |
re — |
г), |
применить |
индукцию |
по р |
||||||||||
и тождество Сильвестра |
(S) |
(§ 2); |
воспользоваться также результа |
||||||||||||||
том упражнения 6. |
|
В |
оригинальном |
мемуаре |
Фробениуса |
[44] |
|||||||||||
З а м е ч а н и е . |
|||||||||||||||||
к результату, приведенному выше |
в |
упражнении |
7, примыкает |
||||||||||||||
(вернее, предшествует ему) целый ряд предложений, представляю щих самостоятельный интерес. Мы приведем их в последующих упражнениях.
8. Пусть
Яп-1 = 1
— гапкелева матрица, р |
п, |
а |
•И), *Tl, . . ., |
(Ср, |
Уп, Уii •• •. Ур', г |
§ 10] |
|
ХАРАКТЕРИСТИКА |
|
|
|
83 |
|||
— произвольные числа. Тогда справедливо тождество |
|
|
|||||||
So |
* ■ V i |
Vo |
|
So |
|
* * |
V i |
2/i |
|
sp -1 |
* * S2p-2 |
Ур-i |
— |
sp - l |
■ ‘ |
S2p-2 |
Ур |
|
|
|
|
||||||||
Xi |
• • 3?P |
z |
|
xo |
|
|
P -1 |
z |
|
|
50 |
• ■ |
Sp-2 |
Xo |
2/0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
SP-1 |
• |
• |
S2p-3 |
xp -1 Ур-1 |
Л |
(10.9) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
•9P |
' |
’ |
S2p-2 |
*p |
Vp |
|
|
У к а з а н и е . Воспользоваться тем, что разность между пра вой и левой частями формулы (10.9) есть линейная форма от перемен ных го, XI, . . ., хр, z, в которой коэффициенты пригс, гр и z равны нулю, так что фактически она зависит не более чем от р — 1 пере менных xi, . .. , хр_^\ в то же время при значениях этих переменных,
равных соответственно sv+1, . .. , sv+p_lt а го = sv, хр = sp+1J, z = = yv+1 (v = 0, 1 ,.. ., p — 2) все три определителя в (10.9) аннули
руются.
З а м е ч а н и е . Тождество (10.9) есть частный случай более общего предложения (см. [44]):
Для миноров порядка р -)- 2 (< + ) всякой симметрической матри
цы, А = |
|ay llyjio имеет место тождество |
|
||||
/0 1 . . . р — 2 р —1 р + 1 \ |
|
|
||||
\ 1 2 . . . р — I |
р Р + 2 / |
|
|
|||
|
/ 1 2 |
. . . р — 1 |
р р + 1 \ _ |
|
||
|
"Л 0 1 .. . р\— 2 р — 1 р + 2j - |
|
||||
|
|
|
|
/ 0 1 . . . р — 2 р — 1 р |
( 10. 10) |
|
|
|
|
|
VI 2 . - - P - 1 Р + 1 р + 2 |
||
|
|
|
|
|
||
9. |
К какой |
матрице А следует применить тождество (10.10), |
||||
чтобы получить из него |
(10.9)? |
матрицы Я п_1 = |si+J- |” y=L0 ми~ |
||||
10. |
Пусть |
для |
ганкелевой |
|||
нор Z)p_1 отличен от нуля, а окаймленные миноры имеют вид |
||||||
|
A > -X |
|
|
Sp+v |
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2p+v-l |
|
|
|
Sp * • * *2P-1 |
• - |
’ |
S2p+M |
|
|
(v = 0^ 1, . . .5 т < п р — 1).
84 |
ГАНКЕЛЕВЫ |
МАТРИЦЫ |
И |
ФОРМЫ |
[ГЛ. II |
|||||||
|
Тогда 6^ = |
0 при р + |
v < |
|
т и |
|
|
|
||||
|
|
г у * = У и |
|
(р, v = |
0, 1......... т). |
|
||||||
|
У к а з а н и е . |
|
При |
р > 0 |
применить |
(10.9), |
подобрав соот |
|||||
ветственно хо ,. . ., |
Хр; j/o,.. |
Ур\ |
z, |
и воспользоваться результатом |
||||||||
упражнения 4 к § 2, в силу которого ранг матрицы |
|
|||||||||||
|
flo |
|
|
• |
ар - 1 |
а.V |
|
• • ар+т -1 |
|
|||
|
V |
i |
• |
• |
Я2р-2 |
агр-1 |
• |
• Я2р+>п-2 |
|
|||
|
ар |
|
■ ‘ Я2р-1 V |
|
• |
• Я2р+тп- 1 |
|
|||||
равен р; при р = |
0 утверждение тривиально. |
|
|
|||||||||
|
11 (KponeKepJ[52]). Рассмотрим у ганкелевой матрицы Н п_х = |
|||||||||||
= |
Иsi+; 1!Г /= о минор |
Пр_1 и окаймленные миноры |
|
|||||||||
Sp+v
D,
Р-1
|
|
S2p + v -l |
|
|
Sp+P ' |
' ' S2P+P -1 |
■ ' S2p+P+v |
|
|
и пусть Dp_x Ф 0. |
|
(р, v = |
0,1, |
р —1) |
|
|
|
|
|
Тогда, если |
|
|
|
|
Ьоо = Ьи = ... = |
bom — 0 |
(т ^ |
п — р — 1), |
|
то |
|
|
|
|
DP — D p+1 — ••• = |
D p+m ~ |
0 |
|
|
(т. е. в (г, ^-характеристике усеченной матрицы 7/р+т составляю щая г равна р). Обратно, если
d p — D p +i : |
•— Dp+m 0, |
|
то боо = Ьо1= ... = |
60т = 0. |
|
У к а з а н и е . |
Воспользоваться тождеством Сильвестра (S) |
|
из § 2 и результатом упражнения 10.
12. Получить утверждение упражнения 7 из результатов уп ражнений 11 и 10.
§11. Теоремы о ранге
11.1.Наша ближайшая цель — выяснить, как связа ны между собой (г, /^-характеристика ганкелевой матри
цы и ее ранг.