Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 157
Скачиваний: 0
1 ш |
|
ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ |
85 |
|
Л е м м а |
11.1. Если, Нп-г — ганкелева матрица с за |
|||
данной (г, к)-характеристикой, то г |
к ^ п и минор |
|||
Dr+k_1 порядка г + |
к, составленный из |
первых г рядов |
||
{строк и столбцов) |
матрицы Нп |
и последних к ее рядов, |
||
отличен от |
нуля. |
|
при |
г = к = 0 вто |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Хотя |
||||
рое утверждение леммы становится бессодержательным, мы можем и в этом случае формально придать ему смысл, положив (по определению)
П_г = D-! = 1 {Ф 0).
Пусть теперь г -f к 0. Заметим, что при к — 0 оба утверждения леммы тривиальны, ибо по определению кон
станты г (см. п. 10.1) имеем |
г |
п и В Т-г — Dr- 1 Ф 0. |
|||||
В случае к |
|
0 |
предположим сначала, что неравенст |
||||
во г + к |
п |
уже |
установлено. |
Тогда |
|
||
|
|
D r - l |
* |
* |
• • ■ |
* |
|
|
|
* |
* |
. . . |
* |
||
|
|
|
|
||||
|
« |
. . . |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . |
S2n-fc-l . . . |
|
|
|
* . . |
. * |
8гп -к-1 |
|
. . . |
|
|
где звездочками заменены все прочие (не интересующие нас сейчас) элементы последних к рядов матрицы Нп~г. Для вычисления определителя Б г+к_х воспользуемся резуль
татами § 3. А именно, рассмотрим матрицу Нп-1 — особое продолжение матрицы Нг (ранга г) и построим минор
матрицы |
Hn-i {= А) по схеме (3.1), где роль А г |
играет минор |
Dr-x- |
86 |
ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ |
[ГЛ. II |
(при г = 0 левый верхний угол, т. е. D ^ , здесь отсутст вует). Здесь символами s’v (v = 2п — к — 1,. .. , 2п — 2)
обозначены попавшие в состав минора М(Р элементы по следовательности (Ю.З), задающей все особые продолже ния матрицы Нт(заметим, что в силу формул (10.5) все
прочие элементы, |
минора |
принадлежат исходной |
|
матрице Hn-i)- |
|
|
|
Заменим теперь |
в определителе |
(см. схему (11.1)) |
|
диагональ, состоящую из элементов sin-k-i, соответству ющей диагональю исходной матрицы Я п_17 т. е. элемен тами Szn-ic-!- Учитывая предложение 1° из § 3, мы не изменим величины полученного таким образом нового оп
ределителя МкГ) (szn-k-i) (см. (3-4)), если и все прочие его элементы, т. е. элементы, стоящие в его правом нижнем углу под диагональю заменим соответствующими элементами исходной матрицы Нn_2. Но в последнем слу чае мы получим (см. условие леммы) минор 0 г+к_х, так что, учитывая лемму 3.1 в форме (3.5), имеем
|
|
|
|
к О с -1) |
|
|
|
|
||
& г + к - 1 = |
$ |
к ' (^an-Jr-l) — ( |
1) |
2 |
H r_ i( s 2n -Jc-i |
s 2n - k - l ) IC- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 11. 2) |
|
Остается |
вспомнить, что Dr-X^=0, |
а по определению |
||||||||
(10.5) |
sZn-k_i — sin-k-i ф 0, |
и |
неравенство |
Dr+k^ |
ф 0 |
|||||
установлено. |
|
вывод, |
что при к |
0 |
ра |
|||||
Отсюда следует еще и тот |
||||||||||
венство г + к = п невозможно, |
ибо оно влекло бы за со |
|||||||||
бой |
соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
■®п-1 — Dr+k- 1 — Er+k-i |
0, |
|
|
|
|||
т. е. |
р = |
п = г, что противоречит условию |
к ]> |
0 |
(см. |
|||||
определение константы к в п. 10.1). |
|
|
|
|
||||||
Для завершения доказательства леммы 11.1 нам ос |
||||||||||
тается |
исключить возможность |
неравенства |
г -f- |
к |
п |
|||||
при к > |
0. Вспомним для этой цели, что (см. (10.6)) |
|
|
|||||||
|
|
|
0 <; к |
2п — •2г — 2. |
|
|
|
|||
Матрицу |
Нп-г усечем, |
отбросив последние |
г + |
к — п |
||||||
§ 111 |
|
ТЕОРЁМЫ О РАНГЕ |
|
|
|
87 |
|
ее рядов *). Получим |
ганкелеву матрицу Н - |
порядка |
|||||
п = п — (г |
к — п) = 2п — г — к > |
|
|
|
|||
|
|
|
2п — г — (2п — 2г — 2) = г + 2. |
||||
Отсюда |
следует, что |
Н~_г является, во |
всяком |
случае, |
|||
продолжением |
матрицы Нг (и подавно |
матрицы Нт^) |
|||||
и в (г, /(^-характеристике матрицы |
Н~_г составляющая |
||||||
г равна г, а так как г |
к — п <( к, |
то |
|
|
|
||
к = к — 2 (г + к — п) = 2 п — 2г — к > 2 )> 0. |
|
||||||
Но тогда г |
к = 2п — г — к = п, |
а это, как показано |
|||||
выше, невозможно. |
|
|
|
|
|
||
Лемма 11.1 |
доказана. |
|
результатами |
§ 10 |
|||
11.2. |
Лемма 11.1 в сочетании с |
||||||
позволяет установить следующий фундаментальный для |
|||||||
всей рассматриваемой теории факт. |
|
т е о р е м а |
о |
||||
Т е о р е м а |
11.1 ( о с н о в н а я |
||||||
р а н г е ) . |
Если Нп~i — произвольная ганкелева матрица |
||||||
с заданной (г, к)-характеристикой, а р — ранг этой мат рицы, то
р= г + к.
До к а з а т е л ь с т в о . При г = р утверждение тео
ремы тривиально, ибо в |
этом случае, |
по |
определению, |
||
к = 0. |
р, т. е. |
(см. |
(10.6)) к ^> 0. |
Введем, как ив |
|
Пусть г < |
|||||
|
|
|
А: -4- 1 1 |
|
|
|
|
|
—Y— . В силу теоремы 10.1 |
||
«усеченная» |
матрица |
27п_т _[i имеет ранг |
г, а матрица |
||
Нп- т — ранг, уже превосходящий г. Но в силу следствия из леммы 6.1 этот ранг может равняться либо г + 1, ли бо г + 2.
При четном к { — 2т) в силу опять-таки теоремы 10.1 характеристика матрицы Нп- т имеет вид (г, 2). Но тогда из леммы 11.1 следует, что матрица Нп- тсодержит отлич ный от нуля минор порядка г + 2 и, стало быть, ранг ее
*) То есть строк и столбцов. Заметим, что из (10.6) следует не равенство г -\- к — га ^ га — 2. Кроме того, г -j- к — га < к, так как г < п (при г = п имели бы к = 0).
88 |
г а н к е л е в ы м а т р и ц ы и ф о рм ы |
£гл. и |
равен г -{- 2. Каждый следующий шаг продолжения, т. е.
перехода от Нп—т к Нп- т+х, Нп~т+2,- . ., -Sn-m+v,. . . , бу дет по теореме 10.1 давать матрицы с характеристиками
(г, 4), (г, 6),. . (г, 2 + 2 v),.. ., а ранги их будут соот ветственно равны г + 4, г —]—6, .. ., т* —)—2 —]—2v,. . . Про цесс закончится полным восстановлением матрицы Нп-г = = Лп-т+(т-1'>, ранг которой по этому правилу подсчи тывается так:
р = г + 2 -| -2(щ — 1) = г 2т = г -\г к.
Если же к нечетно (к = 2т — 1), то характеристика матрицы Нп-т имеет вид (г, 1). Ранг Нп-т в силу леммы 11.1 не меньше, чем г 1. Но он в точности равен г 1, так как
•
П—W—1
• • • s2n-k-l
и отбрасывание последней строки приводит к прямоуголь ной матрице, не содержащей «испорченного» элемента s2n-k-i (см. п. Ю-2), но включающей блок Нп- т-х (и по давно Нг). Ранг этой прямоугольной матрицы равен поэ
тому |
г, а значит, ранг матрицы Нп-т не превосходит |
||
г + |
1. |
|
|
Остается снова применить тот же прием построения |
|||
продолжении |
Нп- т+х, |
Нп- т+2,. .. , /f n_m+V). . . с харак |
|
теристиками |
(г, 3), (г, |
5),. . ., (г, 1 + 2v),. .. В силу леммы |
|
11.1ранги этих продолжений будут соответственно равны
г+ 3, г + 5,. . ., г + 1 + 2v,... Стало быть, у исходной
матрицы Нп-г = Нп- тНт-1) ранг равен
p = r - | - l - ( - 2 ( m — 1) = г 4 2яг — 1 = г 4 - к.
Теорема |
11.1 |
доказана. |
11.3. |
Теорема 11.1 о ранге влечет за собой целый ряд |
|
следствий. |
Прежде всего из нее немедленно получается |
|
Т е о р е м а |
11.2 ( Ф р о б е н и у с а ) . Если Нп-Х— |
|
ганкелева матрица ранга р, а число г определяется соотно шениями (10.2), то отличен от нуля минор D p_x(порядка р) этой матрицы, составленный из первых г и последних р — г ее рядов.
$ 11] |
ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ |
89 |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
очевидно, поскольку р — г — |
||
= к, и теорема 11.2 просто |
перефразирует лемму 11.1 *). |
||
Теорема 11.2 |
являлась исходным пунктом в построен |
||
ной Фробениусом теории ганкелевых матриц (см. мемуар Фробениуса [44] или, например, изложение этой теории
в [4] **)). В |
нашем построении она, напротив, является |
|||||
«побочным продуктом». |
|
|
||||
Заметим, что уже в этой теореме Фробениуса содержал |
||||||
ся, по существу, |
алгоритм отыскания ранга р гаикелевой |
|||||
матрицы ***), а именно: |
Нп-х — ганкелева |
матри |
||||
Т е о р е м а |
11.3. |
Пусть |
||||
ца, а число |
г |
определяется |
соотношениями |
(10.2). |
||
Если г = |
п, |
то и ранг матрицы Нп-Х равен п: |
р = п. |
|||
Если же |
г <С п, |
то, |
присоединив к минору |
(Ф 0) |
||
(а в случае г = 0 просто взяв) сперва одну последнюю строку и один последний столбец матрицы Нп-Х, образуем минор В Тпорядка г + 1; затем присоединим к Dr^ две последние строки и два последних столбца матрицы Нп-Хи образуем минор В г+1 порядка г 2 и т. д., пока это позволяют от носительные размеры маШрицы Пп-Хи минора Dr^x.
Рассмотрим |
максимальный (по порядку) из миноров |
B r_1+V (v = 0, 1, |
2, . . .), отличный от нуля (ВГ-Х= D r- x). |
Тогда |
max v — к |
|
dt-1+4^°
и г + к = р есть ранг матрицы Нп-Х.
Другим почти непосредственным следствием теоремы
11.1является
Те о р е м а 11.4. Если в (г, к)-характеристике ганкелевой матрицы Нп-Х ранга р число к )> 0, то любое продолжение Нп матрицы Нп-г (т- е. продолжение по
рядка |
п |
1, определяемое |
произвольной парой чисел |
s2n-i, |
s2jl) |
имеет ранг р = р + |
2. |
*) В работе [44] Фробениус, помимо константы г, вводит для каждой гаикелевой матрицы также константу к, определяемую (как теперь ясно, несколько формально) равенством к — р — г.
**) См. также упражнение 7 в конце параграфа.
***) tjT0) впрочем, впервые отмечено лишь в [28]. Как справед ливо заметил автору Т. Я. Азизов, при малых по сравнению с п величинах г ранг р = г к матрицы Нп_х экономнее искать не по
этому правилу, а непосредственно вычисляя составляющую к § (г, /^-характеристике методами § 10,