Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 159

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

90

ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ

И

ФОРМЫ

[ГЛ. II

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

матрица

Нп неосо­

бенная

(Dn = det Нп ф 0),

то р

=

га + 1.

Далее, по­

скольку

к

0,

то Dn~x =

0 (см.

п. 10.1) и потому р

 

^ га — 1.

Но р — р ^

2

(см. следствие из леммы 6.1),

так

что

р = га — 1 и р =

р -f- 2.

Если же Dn = 0,

то

в

(г,

^-характеристике

матрицы

Нп имеем

г =

г,

а

к =

к -{- 2,

т. е.

р =

7* —I—Лг == т* —|—/с —|—2 =

р —j—2.

 

 

Из теоремы 11.4, в свою очередь, получается общий

критерий существования особых продолжений (см. § 9) произвольной ганкелевой матрицы, а именно

 

Т е о р е м а

11.5.

Ганкелева матрица Нп-г ранга р

допускает

особые

продолжения тогда и

только тогда,

когда Dp-г Ф 0.

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Д о с т а т о ч н о с т ь ус­

ловия была установлена еще в теоремах 9.1

и 9.2. Н е о б-

х о д и м о с т ь

же следует из теоремы

11.4, ибо при

Dp

= 0 в

(г, /^-характеристике матрицы Нп-г обяза­

тельно /с >

0 (так

как г <

р), и потому особых продол­

жений у Нп-1 нет:

уже любое продолжение Нп порядка

п +

1 всегда имеет

ранг

р + 2.

 

 

Отсюда,

в частности, получается одна известная теоре­

ма Кронекера о бесконечных ганкелевых матрицах. Как и для конечных матриц, договоримся приписывать беско­ нечной матрице конечный ранг р (целое число р > 0), если все ее миноры порядка р -(- 1 равны нулю, а среди миноров порядка р есть отличные от нуля. Этим определе­ нием мы уже, в сущности, пользовались в § 9 (см. следствие

из теоремы 9.2).

11.6 ( К р о н е к е р а )*). Если

На, —

Т е о р е м а

бесконечная ганкелева матрица конечного ранга р, то от­

личен от нуля ее минор Dp-^

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим получающиеся

из матрицы На, усеченные (конечные) матрицы Н

по­

рядка га (= 1, 2,.

. .). По условию при достаточно

боль­

шом га матрица Я п_х будет иметь ранг р. Если бы при этом

оказалось, что Я р_г =

0, то в силу теоремы 11.4 уже Нп

имела бы ранг р + 2,

что невозможно.

Теорема доказана.

 

*) См., например, [4], стр. 496; там же приводится доказатель­ ство, отличное от нашего (см. упражнение 9 к настоящему пара­ графу).

§ И] ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ 91

В свете теоремы 11.1 можно теперь по-иному взгля­ нуть и на теорему 10.1. Для удобства дальнейших ссылок переформулируем ее в виде отдельной теоремы.

Т е о р е м а 11.7 (о с к а ч к а х р а н г а п р и п р о д о л ж е н и и ) . Если в (г, к)-характеристике мат­

рицы Hn-± число к 0, а т =

» т0 усеченная матри­

ца

имеет ранг г. Матрица Нп-т имеет при к = 2т

ранг г +

2, а при к = 2т — 1 ранг г -J- 1. На каждом из сле­

дующих шагов продолжения

матрицы Я,,-™ (вплоть до

полного восстановления матрицы ~Hn-i) ринг повышается на две единицы.

11.4.С теоремой 11.7 (или теоремой 10.1) тесно свя­

зан вопрос об

установлении

о б щ е г о

в и д а ганке-

левой матрицы

Нп-г по

ее (г,

/^-характеристике с г > 0

и к )> 0.

 

 

 

 

Пусть заданы целые числа г, к и п, удовлетворяющие

условиям

 

 

 

 

г

0, к

0,

п )> г к.

(11.3)

Зададимся произвольной неособенной ганкелевой матри­ цей НТ-Х порядка г (при г — 0 этот шаг опускается). Да­ лее, в соответствии с теоремой 9.1, построим произвольное особое продолжение Нг матрицы Нг_а (все такие продол­ жения Я г описываются уравнением (9.1) при п = г). При г = 0 полагаем Я 0 = (0).

А: -}- 1 1

дует, что п г -)- к -)- 1, а потому[—~ — .Из (11.3) сле­

п — m — 1 > г -Д /с — m = г + к — [ ~ у ~ ] > г-

Построим ганкелеву матрицу Hn- m-i- Если п — m — 1 =

= г, то эта

матрица Нп- т^г =

НТ уже

выбрана выше.

Если же 7г

— m — 1 Д> г, то

матрицы

Нг+1, Я,.+2, . . .

..., Hn- m-i определим как особые продолжения матрицы Нг. В качестве таковых они определяются единственным образом в силу теоремы 9.2, условиям которой удовлет­ воряет матрица НТ. Эта же теорема 9.2 гарантирует су­

ществование единственной

пары чисел (обозначим их

$г(п~т)-1 | $2 (п-т)),

задающих

особое продолжение (обоз­

начим его Нп-т)

матрицы

(и Я г).

92

ё а н к е л ё в ы м а т р и ц ы й ф о рм ы

[ГЛ. II

 

Если к = 2т, то, выбрав любое s2(n-m)-i

(Ф Sa(n-m)-i)

И п р о и з в о л ь н о е S2(n- m), получим матрицу Нп-т ранга г + 2. В самом деле, если Dn- m =f= О, то ранг мат­ рицы Нп-т равен ее порядку п — т -[■ 1, и наше утвер­ ждение вытекает из следствия леммы 6.1 (поскольку -Dn-m-x = 0 и, стало быть, ранг матрицы Hn-m-x по­ рядка п — т, равный, по построению, г, удовлетворяет неравенству г ^ п — т — 1). Если же и Dn_m = 0, то утверждение прямо следует из теоремы 10.1 (или теоремы 11.7), примененной к матрице Нп_т (вместо Нп-{).

Точно такое же рассуждение показывает, что при

произвольном выборе дальнейших элементов s2(n-m)+i, •■•

•■

^2п-3) ^2п—2 ранги матриц 77п_;п,^,..., ]Нп~о, Нп~х будут

равны г -f- 4,. . ., г 2 (т — 1), г -f 2m (= г +

/с) соот­

ветственно.

нечетного к = 2т — 1 положим s2

=

 

В случае

=

s2(n-m)-ii

а в качестве s2(n_m) возьмем л ю б о е

число,

отличное от s2(n-m)- Тогда ранг матрицы Н п_т равен г -{- 1 («испорчена» лишь последняя диагональ, состоящая из

одного элемента

% п-т))- При дальнейшем продолжении

матрицы

Н п-т п р о и з в о л ь н ы м и

элементами *)

s 2 (п-тп)+1, -

) 52„-з,

S2h-2

ранги

матриц

Н п_т+1,..., Н п- 2 ,

Н п- Хбудут

равны

г +

3,. . . ,

г + 2т — 3, г + 2m — 1

(= г -f- к) соответственно. Это получается снова из теоре­ мы 11.7 и следствия из леммы 6.1.

Поскольку для любой ганкелевой матрицы Н п- Х по­

рядка п и

ранга

р с

заданной

(г, к) -характеристикой

(г

к = р)

при

р )>

г условия

(11.3), как легко ви­

деть, всегда выполнены, проведенное в данном пункте построение дает полное описание (общий вид) всех ганкелевых матриц, у которых в (г, /^-характеристике число

к )> 0, т. е. р

г.

 

 

 

Таким образом нами доказана

ганкелевой матрицы

Т е о р е м а

11.8. Общий

вид

# „ -! = I si+j ||д~;*= о заданного

порядка п (]> 2) с

за­

данной (г, к)-характеристикой (г ^

0, к ]> 0, п )> г +

к)

определяется следующим образом:

 

 

*) Мы допускаем здесь вольность речи, но читатель, очевидно, поймет, что речь идет о построении продолжений # n_m+1, ...,

Hn-t матрицы Нп_т.

§ 11]

'ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ

93

1)при г ^ 1 задается произвольная неособенная ганкелева матрица Нг-г порядка г (при г = О этот шаг опус­ кается);

2)в качестве НГ берется произвольное особое продол­

жение

матрицы

(при

г = 0

полагаем IIТ — (0));

3)

если положить т =

,

то п — т — 1

г;

при п — т — 1 ]> г матрицы IIr+i,

Нг+2 , ■■■, Нп-т- 1

оп­

ределяются единственным образом, как особые продолже­ ния матрицы НТ (при п — m — 1 = г матрица Нп-т-± уже определена);

4) далее

единственным образом определяется пара чи­

сел

$2(п-т)1 задающая

особое продолжение

Нп-т

{порядка п — т + 1) матрицы НГ;

 

 

 

5) при

к — 2т элемент s2(n-m)-i в Нп-т

заменяется

произвольным, но другим числом S2(n-m)-i> в

случае

к =

= 2т — 1

элемент s^n-m)-1 (— s2(n-m)-i)

сохраняется, а

5г(п-т) (= S2n+\--i) заменяется

отличным

от

него

про­

извольным числом в2(п-т); в обоих случаях получается новая

матрица Нп- т

порядка п — т -\- 1;

6) при k = 1

имеем

т = 1 и построение матрицы

Нп-1 завершено; при к

1 остальные элементы s2(n-m)+i>

S2(n-m)+2> •••) s2n-2

выбираются произвольно.

Примеры и упражнения

 

 

 

 

1. Для ганкелевой матрицы (см. упражнение 2 к § 10)

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

I-Ii = 0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

с {г, ^-характеристикой (2, 2) миноры Б Т_г и Ь г+к_г равны соот­ ветственно

 

0 1

1 О

0 1

1 0

О 1

D r_ 1 = D i = 1 о “

&г+к-1 —-Оз —

= 1 (фО)

 

1 0

О О

 

0 1

О О

При этом р = г + А =

4.

(лемма 11.1).

 

Смотрите также файлы