Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 160
Скачиваний: 0
94 |
ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ |
[ГЛ. II |
2.Для матрицы (ср. упражнение 3 к § 10)
0 |
4 |
0 |
1 |
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
V4 |
1 |
0 |
V* |
—6 |
с (г, ^-характеристикой (2, 1) находим
0 4 |
|
0 |
4 |
1 |
|
= -16, Z)r+fc_1 = 25a = |
4 |
0 |
0 =96 (ф 0) |
||
Ог-1 = Л = 4 0 |
|||||
|
|
1 |
0 |
-6 |
(лемма 11.1).
При этом р = г + к = 3.
3.Рассмотрим гаикелеву матрицу шестого порядка
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
#5 = |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Непосредственно |
видим, |
что |
D |
= |
1, |
Di = |
|
= Di = Db = 0. |
Таким |
образом, |
г = |
3, |
= D«. ( = — 1) ф 0. |
||
Константу к (а с ней ранг р = г -)- к) и минор Dr+i[_х (Ф 0) найдем
одновременно, пользуясь правилом теоремы 11.3. Сперва окаймим минор
1 0 0
Di = 0 0 1 0 1 0
последней строкой и последним столбцом матрицы Пъ'.
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 0 |
1 |
1 |
= ~ИФ0). |
|
£*2+ 1 — Х>я = 0 1 |
0 |
0 |
||
0 |
1 |
0 |
1 |
|
§ ш |
ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ |
95 |
||||
Затем используем для окаймления Яг две последние строки и |
два |
|||||
последних столбца матрицы Д 5: |
ОО ОО |
|
||||
|
1 |
|
||||
|
О 0 1 |
0 1 |
|
|||
|
Рг\г = P i = О 1 |
О 1 |
О = 0. |
|
||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 10 |
11 |
|
|
|
|
||
Так как D ^ s — Я 5 = |
Я 8= 0 , |
то. согласно теореме 11.3, |
|
|
|||||||||
к = |
max v = |
1, |
р = |
г + |
/с = 4, |
|
Dr+h-i = |
Рз = |
— 1. |
|
|||
4. |
Для матрицы Я 6 примера 3, |
у которой (г, ^-характеристика |
|||||||||||
имеет вид (3, 1), проследить за скачками ранга при построеиии |
|||||||||||||
продолжений «блока» |
Я г_х = |
Яг: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
||||||||
Яг =• 0 0 1 |
|
|
Hi = 0 1 0 0 1 |
||||||||||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
||||||||
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||||
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 ф0 |
0 |
р* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 . 1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
Сопоставить |
результат с |
теоремой |
11.7. |
|
|
|
|
|
|||||
5.| Доказать предложение (см. [28], теорема 4):
Если, у ганкелевой матрицы Нп_г ранга р е (г, 7с)-характеристике
число к > |
0 (г < |
р ■< п), а дефект матрицы равен d ( = п — р > 0), |
|
то после d |
шагов |
продолжения этой |
матрицы *) произвольными |
парами чисел |
|
|
|
% 1- 1' S2n. s2n+l> s2n+2’ •••’ |
san+2(d-l)-l’ S2n+2(d-l) |
||
получим (впервые) неособенную матрицу Я „_1+(1.
У к а з а н и е . Воспользоваться теоремами 11.4 и 10.1.
*) Здесь снова допускается вольность речи, уже оговорен ная выше.
96 |
|
ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ И |
ФОРМЫ |
|
|
[ГЛ. II |
|||||||||||
6. |
|
Проиллюстрируем упражнение 5 численным примером. Пуст |
|||||||||||||||
задана |
ганкелева |
матрица |
порядка |
п — 4: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
— i —i |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
— i |
|
—1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— i |
—1 |
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—1 |
i |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Здесь |
р = |
2, г = |
1 (проверьте!), т. е. |
d = |
п — р = 2. |
При п р о |
|||||||||||
и з в о л ь н о м продолжении «на один шаг» |
с помощью элементов |
||||||||||||||||
а, р и «на два шага» с помошыо элементов а, (3, у, б имеем соответ |
|||||||||||||||||
ственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
— i -1 |
|
|
|
|
|
i |
|
i |
— i |
—i |
i |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
— i |
- 1 |
i |
1 |
2 |
|
|||||
|
— i |
—1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
— i |
—1 |
i |
1 |
2 |
a |
|
|||||||
|
-1 |
£ |
1 |
|
= 0, |
|
|
||||||||||
|
|
|
—1 |
|
i |
1 |
2 |
a |
|
Ф 0. |
|||||||
—1 |
£ 1 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
1 |
2 |
a |
|
|
|
|
|
i |
|
1 |
2 |
« |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
a |
3 |
T |
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Проверьте это! |
случая |
г > |
1 доказать |
теорему |
11.2 |
|
(Фробеииуса |
||||||||||
7. |
|
Для |
|
||||||||||||||
не опираясь на лемму 11.1 и теорему 11.1 ([4], гл. X , § 10, теорема 23). |
|||||||||||||||||
У к а з а н и'е. |
С |
помощью тождества |
Сильвестра |
(S) |
из § |
2 |
|||||||||||
доказать |
соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Д |
|
|
|
|
- р |
+ |
1 • |
|
п — Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р + 1 • |
|
п — г |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где Т = |
Тп_г_г — матрица, введенная в упражнении 7 |
к |
§ 10, |
а |
|||||||||||||
затем воспользоваться результатом этого упражнения. |
|
|
|
|
|||||||||||||
8. |
|
В теореме 11.6 (Кронекера) речь идет о бесконечных ганк |
|||||||||||||||
левых матрицах Н ^ |
конечного ранга р. Доказать, |
что бесконечная |
|||||||||||||||
ганкелева |
матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
# С С = li W |
l i “ |
-=0 |
|
|
|
|
|
|||||
имеет конечный ранг р тогда и только тогда, когда существуют р |
|||||||||||||||||
чисел ао, аь . .. , |
ар_г таких, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
р-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«V = |
2 |
“j V i -1 |
|
(v = |
р, Р + |
1, •••), |
|
|
(11.4) |
||||||
|
|
|
У=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и р — наименьшее из чисел, обладающих этим свойством (ср. [4],
ГЛ, XVI, | 10, теорема 7),
§ 11] |
ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ |
97 |
У к а з а н и е . Использовать теорему 11.6, а также теорему 9.2 (формулу (9.4)) н ее следствие.
9.Показать, что и обратно, теорема 11.6 Кропекера получается как следствие результата упражнения 8 (именно так она выводится
в[4], где результат упражнения 8 устанавливается независимо от теоремы Кронекера).
10.Вывести теорему Кропекера 11.6 из его же теорем, приве денных в упражнении 11 к § 10 и в упражнении 4 к § 2 [44].
У к а з а н и е . Воспользоваться тем. что если р О 0) — конеч ный ранг матрицы
tf~ = liW iD =o’
то не все ее элементы равны нулю, а потому (в силу ганкелевой структуры) не все Д V-1 (v = 1, 2, ...) равны нулю; рассмотреть
наибольшее v « [ р), прикотором D v_x Ф 0, и, применив упомянутые
теоремы |
Кропекера, |
доказать, что v = |
р. |
|
||||
11. |
Если у бесконечной ганкелевой матрицы I I ^ мннор Др-1 ф 0, |
|||||||
a Dp = |
Др+1= |
... = 0 , то ранг матрицы |
конечен |
и равен р [44]. |
||||
Доказать. |
дапа |
правильная |
рациональная |
дробь |
||||
12. |
Пусть |
|||||||
|
|
|
|
7? |
(z) = g (z)th (2), |
|
||
где |
h (z) = |
aQг™ -I- |
аггт 1 + |
. . . + am (a0 ф |
0), |
|||
|
||||||||
|
|
g M |
= |
|
+ 62zm~* + |
. . . + bm. |
|
|
Разложим R (z) в ряд по отрицательным степеням z:
|
д м |
ё (z) |
So |
Si |
(11.5) |
|
h(z) |
z |
|
||
(он сходится, |
очевидно, вне любого |
круга |z |^ R, |
содержащего |
||
все полюсы функции R (z) |
[9], т. е. |
те значения z, |
при которых |
||
R (z) обращается в бесконечность). |
|
|
|||
Доказать, |
что бесконечная гапкелева матрица |
|
|||
|
|
* « |
= !• * * Ли - о |
|
|
имеет конечный ранг |
р |
т. |
|
|
|
Обратно, |
если ранг II^ конечен и равен р, то функция R (z), |
||||
определенная рядом (11.5), рацнональна и число р совпадает с чис лом полюсов R (z), считая каждый из них столько раз, каков его порядок (по поводу этого понятия см., например, [9]).
У к а з а н и е . |
Выписать |
тождества |
между коэффициентами |
(ц = 0, 1, ..., т), |
bv (v = 0, |
1,..., т — 1) |
и sfc (к = 0, 1, 2, . . .), |
вытекающие из (11.5), и заметить, что они порождают соотноше ния вида (11.4) при р = т (более подробно см. [4], гл. XVI, § 10, теорема 8).
4 И. С. Иохвидов
98 |
ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ |
[ГЛ. IX |
|
§ 12. |
Ганкелевы формы |
|
|
12.1. Ганкелевой формой порядка п (^> 0) называется |
|||
квадратичная форма |
п—1 |
|
|
|
|
|
|
|
tfn_i (х, х) |
= 2 |
(12.1) |
|
|
i,j=0 |
|
с вещественной ганкелевой матрицей *) |
|
||
|
^n-i = |
||si+i||r,ll0. |
(12.2) |
Вскрытые в §§ 9— 11 закономерности структуры ганкелевых матриц позволяют довольно быстро установить пра вило Фробениуса для отыскания сигнатуры формы (12.1), являющееся (для этого специального класса форм) обобщением правила Якоби. Обобщение это в известном смысле полное, так как распространяется на любые фор
мы |
(12.1) без всяких ограничений, обычно налагаемых |
|
на |
их последовательные главные миноры D0, |
Dlt ... |
..., |
**). Как мы в идели в § 8, трудности здесь возника |
|
ют, |
когда в ряде чисел |
|
|
D0, Dlt . . . , Dp-i |
(12.3) |
встречаются группы, содержащие более двух идущих под ряд нулей, а также в сл уч ае /)^ = 0. Покажем, как прео долеваются эти трудности для ганкелевых форм (12.1). Для облегчения исследования разобьем его на несколько шагов.
12.2. Как обычно, наряду с формой (12.1) мы будем рас сматривать усеченные квадратичные формы
H v(X, X) = 2 |
(v = 0, 1, . . . , П 1) |
i,;'=o
*) Вместо квадратичной формы (12.1) можно рассматривать
71— 1
эрмитову форму ^ (ее также называют ганкелевой формой г, 3=0
стой же матрицей (12.2), ср. ниже § 19). Легко проследить, что вся теория, развиваемая в § 12 для квадратичных форм (12.1), остается в силе и для эрмитовых ганкелевых форм,
**) р — ранг матрицы Hn_v