Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

§

12]

ГАНКЕЛЁВЫ ФОРМЫ

99

с

матрицами

Н 0,

Нп-х и дискриминантами D 0,

Dy,..., Dn-y соответственно.

1°. Пусть последовательность (12.3) содержит изо­

лированную группу из р нулей

(Пh-y ф 0), D h = D h+1 = . . .

= Dh+p-i = 0

(Di^p Ф 0),

(12.4)

причем p — число

нечетное',

р = 2q — 1 (q

1). Тогда

усеченные формы H h-\ (х, х) и H hyp (х, х)

имеют одинако­

вые сигнатуры. Точнее: форма Hhyp (х, х)

в каноническом

представлении

содержит на q положительных и на q от­

A -j- р +

1, то ранг р матрицы H hyP-i не меньше чем А +

+ р — 1

(следствие из леммы 6.1). Но D hyp-\ = 0, так

предложения

1°.

при чет­

С л е д с т в и е . В условиях предложения 1°

ном q = 2s (s )> 0)

sign D h+p =

sign D h-i,

(1(2.5)

а при

нечетном

q — 2s — 1

(s )> 0)

sign D hyp = — sign D h-i-

(12.6)

Это вытекает из (4.3) и предложения 2° из § 5.

2°.

Пусть

в

соотношениях (12.4) число р

четное:

р = 2д

0. Если sign D h- 1 =

sign D hyP, то при четном q

100

ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

[ГЛ. II

переход от Яд_х (х, х) к В д+р_! (х, х),

ибо последний шаг—

от H h+P-х (х, х) к Яд+Р (х, х),

как и выше, сопровождает­

ся скачком ранга на две единицы. Учитывая, что (г,

/^-ха­

рактеристика матрицы Нь+р-!

имеет вид (h, р — 1 ), где

р — 1 = 2 <7 — 1^> 0, снова

применяем теорему

11.7,

в силу которой на переходе Яд+д_1

Яд+ q ранг (впер­

«новых»

<7 квадратов одного знака и q +

1 квадратов про­

тивоположного знака.

Ясно (см. (4.3)

и предложение 2°

из § 5), что при sign D д_2

=

sign D h+p и четном q появятся

<7 отрицательных и

q +

1

положительных квадратов,

а

при нечетном q, наоборот, q

положительных

и q +

1

отрицательных квадратов. Очевидно также, что

при

signЯд_1 =

— sign Яд+р картина прямо противоположная.

12.3.

Теперь остается совсем немного,

чтобы устано­

вить

следующее правило.

Л е м м а

12.1. Пусть у вещественной ганкелевой фор­

мы Нп_! (х, х) порядка п ряд последовательных главных

миноров

содержит

изолированную

группу

из

р О

1 )

нулей:

(Dh-гФ 0), D д = D ft+1 =

. . . = Яд+р_! = 0 (Я,1+р ф 0).

(12.7)

Припишем каждому из этих нулей знак плюс или минус

по правилу

signЯд-j+v =

(— l ) ^ 4 "

1)/izsignD д_!(v =

1, 2, ...,p).

(12.8)

Тогда

число знакопостоянств

H (Dk-i, D h, ..., D h+p)

и

число

знакоперемеп

W

( й д - j ,

Я д ,

. . . , Я h+p)

в наборе

Яд_!, Яд, ..., Яд+р

будут

соответственно

равны

коли­

чествам

положительных

и отрицательных

квадратов,

§ 12]

ГАНКЕЛЕВЫ ФОРМЫ

101

I . р

=

2q — 1,

q >

0

I. a) q = 2s,

s >

0

(р =

4s — 1)

V = 1

2

3 4 5) . . . 4s — 2 4s - lj

v(v-l)

1

—1

—1 1

1

—1

—1

(•Dft-iU- 1) a

=

I. 6) q — 2s — 1, SVО

(P = 4s — 3)

V =s 1

2

3

4

5

4s — 4 4s — 3

v(v-l)

1 - 1 —1 i

1

1

1

( D ^ i ) ( - 1 )

=

H W -

Из таблиц

1а) и

16),

если учесть соотношения (12.5)

левым определителям D h, D h+1, ..., D ^ p ^

знаки по пра­

вилу (12.8), получим

SP (D д_1} D д, ..., D д+р) = Q,

(D /[_!, D д,

..., Dh+p) —?•

И . p = 2q, q >

0

II

a) q =

2s, s >

0

(р = 4s)

v =

1

1

2

3

4

5

4s — 1

4s

v(v-l)

1

- 1

1 1

—1

Ф л - х Н - 1)

2 =

- 1

i

II

6) q =

2s — L,

s > 0

(p = 4 ' ---

2)

v =

1

2

3

4 | 4

4s — 3 4s — 2

v(v-l)

1

—1

1

1

1

—1

( A l - l H - l ) 2 =

—l

( * W

102

ГАНКЕЛЕВЫ

МАТРИЦЫ

И ФОРМЫ

[ГЛ. IX

Из таблиц На) и Нб) видно, что правило (12.8) приво­

дит к следующим результатам:

то

если sign D /l+p = sign D h- x

‘

&

/г-i? Dh,

Dh+p) — q+

1, ]

при четном q (=

2s)

’V

( P л- d D

hi •••) D h+p) =

q

J

SP>(D h-n D h, ..., D h+P) =

q,

при нечетном

WiDh-x,

D h, ... ,D h+p)

= g

+ i j g ( = 2 s - i ) ;

если же

signZ>A+p =

— s ig n Z )^ ,

to

SP (Dh-ii Dhi •••, Dh+p) —

(?)

1

при

четном q (— 2s),

{Dh-n Dhi •••) Dh+p) =

q +

1 j

35 (D h-n D hi---i D h+p) =

q -\-li

)

нечетном q (= 2s— 1).

W (Dh^ D h,...,D h+p) =

q

Г РИ

к выводу, что и в случае

четного р (=

2q) утверждение

леммы

12.1 доказано.

Гаитмахеру [4],

ре­

З а м е ч а н и е .

Следуя Ф. Р.

зультат леммы 12.1 можно кратко

выразить в виде

сле­

дующей

таблицы:

Р нечетно

р четно

P + 1

P + 1 + e

h ,p ~ & > (D h -v D h'

■■’ D h+p)

2

2

^ h , v = ^ { D h_ v D h ,

Dh+p)

P + 1 P + 1 — e

2

2

^ , Р - П , Р

0

e

6 =

(— l)p/2 sign

.

Нр_х = 0, т.

е.

когда

в (г, /(^-характеристике

матрицы

Нп-г имеем

к^> 0, р =

г + /с )> г.

матрицы

Нп^

3°. Пусть в

(г, к)-характеристике

(см. (12.2)) формы (12.1)

имеем к^>0, ?п.

е. р = г

к

г.

Тогда при четном к =

2т формы Н

(х , х) и Нп-х (х , х)

имеют одинаковые сигнатуры. Точнее:

форма Нп-1 (х, х)

в каноническом

представлении содержит на т

положи­