Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 162
Скачиваний: 0
§ 12] ГАЫКЕЛЕВЫ ФОРМЫ 103
тельных и на т отрицательных квадратов больше, не жели форма Я г_х (ж, х).
В самом деле, при восстановлении матрицы Нп-У из Hr-i путем постепенного построения продолжений общее увеличение ранга г на р — г (= к) единиц происходит (см. теорему 11.7) только на последних т шагах — по две еди ницы на каждом. Отсюда следует (теорема 6.1), что это увеличение будет сопровождаться появлением у формы
(12.1) |
т новых положительных и т новых отрицательных |
||||||
квадратов. |
|
|
|
|
|
|
|
4°. |
Пусть при выполнении всех прочих условий предло |
||||||
жения |
3° число к нечетно: |
к — 2т — 1. |
Через |
|
|||
4r+2i •• |
обозначим (см. |
(10.3)) |
элементы особых |
||||
продолжений Нг+ъ Я,-+2,. . . матрицы Нг. |
Тогда |
при |
|||||
Szn-i-k |
szn-i-k |
форма Нп-г (х, х) |
6ijdem |
иметь |
на |
||
т положительных квадратов |
и на т — 1 отрицатель |
||||||
ных квадратов |
больше, |
нежели форма Я г_х (х, х); в слу |
|||||
чае же, когда |
< |
s^n-i-k, имеем т — 1 новых по |
|||||
ложительных и т новых отрицательных квадратов.
Для доказательства прежде всего заметим, что снова в силу теоремы 11.7 общее увеличение ранга на к (= р — г) единиц при переходе от Нг-г к Нп-г слагается из первого скачка на одну единицу (при переходе от Я ,^ - ! к Нп- т) и последующих т — 1 скачков по две единицы каждый. Отсюда следует, что Я„_х (ж, ж) по сравнению с НТ-г (ж, ж) содержит дополнительно т квадратов одного знака и т — 1 квадратов противоположного знака.
Для уточнения вопроса о том, к а к о г о именно зна ка будут т квадратов и какого знака т — 1 квадратов, обратимся к формуле (10.8), справедливой при нечетном
к = 2т — 1. |
Из нее видно, что форма Я п_га (ж, ж) |
ранга |
||
г -f- 1 может |
быть представлена в виде суммы |
|
|
|
Н -п—т ( х , X) |
(.X', ж) -{- ($2п-1—к |
^27l_l-/i) |
77!, |
(12.10) |
где Я,г-тп (х, |
ж) — форма ранга г с |
матрицей |
|
|
|
я П—771-1 |
s n —m |
|
|
|
|
|
|
|
|
п - т — |
Sz n ~ 2- k |
|
|
|
|
|
|
|
|
s n - m ■■■ S2 n - 2 - k |
s 2 n - l - k |
|
|
104 |
ГАНКЕЛЕВЫ |
МАТРИЦЫ |
И |
ФОРМЫ |
[ГЛ. |
II |
Если |
Н'п-т (х, х) привести к каноническому |
виду, т. |
е. |
|||
к сумме г независимых |
квадратов, |
то |
(12.10) |
перейдет в |
||
представление формы Нп-т (х, х) в виде суммы г + 1 квад ратов, которые независимы, ибо ранг формы Пп-т(х, х)
равен точно г + 1 (§5, |
предложение 3°). Отсюда |
следует, |
||||||||
что при s2n_i-k ^>szn-i-n |
форма В п-т (х, х) |
приобретает по |
||||||||
сравнению |
с формой H tl-m-i (х, х), имеющей те же ранг и |
|||||||||
сигнатуру, |
что |
и Нп-т {х, х) |
(см. |
теорему 6.2), |
один но |
|||||
вый |
положительный квадрат, |
а |
при s2n-i-k < |
sin-i-k — |
||||||
один |
новый |
отрицательный |
квадрат. |
Поскольку все |
||||||
последующие |
до |
т — 1 |
шагов |
|
продолжения |
формы |
||||
Нп_т (х, х) |
|
полного |
восстановления Нп-г (х, х) |
|||||||
(мы снова здесь допускаем вольность речи) не меняют в силу теоремы 6.1 сигнатуры (скачки ранга равны двум единицам каждый), предложение 4° доказано.
12.5. Из сопоставления предложений 3° и 4° с форму лой (11.2) теперь получается
Л е м м а 12.2. Пусть у ганкелевой квадратичной формы Нп-г (х, х) ранга р в (г, к)-характеристике ее матрицы число к ]> 0 (т. е. р = г + к г). Введем в рассмотрение определенный в лемме 11.1 отличный от нуля минор Dp-n
а нулевым определителям DТ= DT+X= |
. . . — D p_2 = |
0 при |
пишем знаки по правилу *) |
|
|
sign D r_1+v == (— 1)v(v_i)/2 sign DT_X(v |
= 1, 2,. .., |
к — 1). |
|
|
( 12. 11) |
Тогда число положительных квадратов |
формы Hn-i(x, х) |
и число ее отрицательных квадратов |
превосходят соот |
ветствующие числа для формы НТ-г (х, х) на |
величины |
|||
ST (I V t, D r. •••’ Dp_a, D p_i) и |
(DT-i, D r, ..., Dp_2, Dp-i) |
|||
соответственно. |
|
В силу формулы |
(11.2) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||
Dp-i = |
(— 1)mD r-i (s2n-1-k |
s2n-i-ti)2m |
(12.12) |
|
при четном к = |
2т и |
|
|
|
Dp-1 — (— l)m_1 Z)r_2 (So.n-1-к |
S2n-1-Jc)2m J |
(12.13) |
||
при нечетном к = 2т — 1. |
|
|
|
|
*) При к — 1 это правило становится бессодержательным, одпако утверждение леммы сохраняет силу.
§ 12] |
ГАНКЕЛЕВЫ ФОРМЫ |
105 |
Таким образом, при летном к = 2т (см. (12.12))
sign Лр_! = |
sign D r-x (т четное), |
| |
(12.14) |
|
signXJp-! = |
— sign Dj-! |
(т нечетное)./ |
|
|
При нечетном |
к = 2т — 1 |
каждое из |
соотношений |
|
sign Dp-i = |
sign D ,-i |
(пъ четное), |
|
(12.15) |
sign Лр-г = |
— sign Dr-х |
(m нечетное) |
(12.16) |
|
справедливо тогда и только тогда, когда (см. (12.13))
s 2 n - l - k ^ s 2 n - k - l -
Противоположному же неравенству
s 2 n - l - к |
s 2 n - k - l |
равносильно (см. (12.13)) каждое из соотношений
sign Dp-x = |
— sign DT-x |
(т четное), |
(12.17) |
sign Лр-х = |
sign D T-x ( |
т нечетное). |
(12.18) |
Теперь, как и в доказательстве леммы 12.1, остается рассмотреть таблички:
I . 1с = 2т , т > 0
1а) |
т — 21, |
1 > |
0 (А: = 41) |
|
|
|
|
|
||
|
|
V = I |
1 |
2 |
3 |
4 5 . . . |4г — 2 4f — 1 |
||||
|
|
v(v-l) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф г - l H |
- l ) |
2 |
= |
1 |
— 1 |
— 1 |
1 |
1 |
- 1 |
^ 1 (Sp-i) |
16) |
т = |
2£ — 4, |
t > |
0 (к |
= 41 — 2) |
5 .. . |
|
|
||
|
|
|
V — 1 | 2 |
3 4 |
4f — 4 41 — 3 |
|||||
|
|
v(v-l) |
|
|
|
|
1 ... |
|
|
|
H V - l H - 1) 2 |
= |
1 |
— 1 — 1 |
1 |
1 |
1 |
||||
Из таблиц 1а) и 16), если учесть соотношения (12.14), видим, что, приписав нулевым определителям Dr, Пг+1,...
..., Z)p_2 знаки по правилу (12.11), получим
Sf1(JDT-xi D г, ..., Dp-2, Лр-х) = т, iPr-x, Dr, ..., Dp-2! Лр-х) = wi,
а это в силу 3° совпадает с утверждением леммы.
106 |
ГАНКЕЛЕВЫ |
МАТРИЦЫ |
И |
ФОРМЫ |
|
[ГЛ. II |
|||||
|
|
|
I I . к = 2т — 1, т )> О |
|
|
||||||
] 1а) т = |
21, |
1 > |
0 |
(к = 41 — 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
V = 1 |
2 |
3 4 |
5 1 |
41 — 3 41 —2 |
|
|||||
v(v-l) |
|
|
|
|
|
" ' |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
O W ( - 1) |
2 |
= |
1 |
- 1 |
- 1 |
1 1 |
|
... 1 |
— 1 |
ffip-i) |
|
116) m = 2t — 1, |
0 |
>0 (к = 4 t--3 ) |
|
|
|
|
|
||||
|
v = | 1 |
2 |
3 4 5 |
|
41 — 5 41 — 4 |
||||||
v(v-l) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фг_х) ( - 1) 2 = |
1 — 1 - 1 |
1 1 |
|
— 1 |
1 |
( V i ) |
|||||
,—............ |
~~ |
но в |
|
|
|
— |
1, т. е. при т = |
к = 1, |
|||
теряет смысл, |
этом случае она и не нужна, |
ибо ут |
|||||||||
верждение леммы тогда прямо следует из предложения 4°
и формулы (12.13)).
Снова сопоставив II а) с |
(12.15) и (12.17), |
а II б) |
— |
||
с (12.16) и (12.18), |
убедимся, |
что при s2n^Sk > |
s ^ -k |
|
|
(Dr-1, Dr, |
Dp_2» £)p-i) — m. |
|
|
|
|
W {Dr-v |
Dr, ..., Dp-2) Dp-x) = Tib |
1? |
|
||
а при s2n-x~k < s2n-i-k |
|
|
|
|
|
9ъ (DT.i, |
D r, ...;, Dp-2j Dp-j) — ль |
1, |
|
|
|
Г (Dr_lt |
Dr, ....i Dp-2i Dp—i) == 171) |
|
|
|
|
т. е. (см. 4°) справедливо утверждение леммы 12.2. |
ис |
||||
З а м е ч а н и е |
1. При сравнении рассуждений, |
||||
пользованных в доказательствах лемм 12.1 |
и 12.2 (соот |
||||
ветственно предложений 1°, 2° и 3°, 4°) обращает на себя внимание кажущееся несоответствие в правилах для слу чаев четного или нечетного р, с одной стороны, и четного или нечетного к — с другой стороны. Однако это несоот ветствие сразу исчезает, если учесть, что в лемме 12.2 (соответственно в предложениях 3°, 4°) роль числа нулей р из леммы 12.1 (соответственно предложений 1°, 2°)
играет не к, |
а к — 1: именно |
столько |
нулей |
в наборе |
||
(0 =h ) Dr-i, |
D r = |
Dr+1 = ... = |
Dr+k- 2 = |
0, |
(^= 0). |
|
В частности, |
как |
мы видели выше, возможен и случай |
||||
к = 1, |
когда |
упомянутый набор сводится к |
паре Ъг-ъ |
|||
B r (= |
jBr+k-i)> т- е- |
вообще не содержит нулей. |
обозначив |
|||
З а м е ч а н и е |
2. С учетом замечания 1, |
|||||
к — 1 = р, г — h, можно результат леммы 12.2 выразить
§ 12] |
ГАНКЕЛЕВЫ ФОРМЫ |
107 |
той же таблицей (12.9) (с заменой Dh+р на D p-X), что и результат леммы 12.1. Предоставляем читателю убедиться
вэтом самостоятельно.
12.6.Остается теперь сделать лишь несколько заме чаний, чтобы установить основную теорему Фробениуса.
Пусть (мы сохраняем те же обозначения, что и в пре
дыдущих пунктах) в набореD -x(= |
1),D 0, П15 ..., |
Драпри |
|||
движении слева |
направо |
впервые встречается |
группа |
||
нулей |
|
|
|
|
|
(D h-l Ф 0)i Dh = |
Пд+i = |
. . . = |
D h+p-l = 0 (D h+p Ф 0). |
||
|
|
|
|
|
(12.19) |
Это означает, |
что |
D -XD 0 ... D |
Ф 0, и поэтому к форме |
||
(х, х) применимо правило Якоби (теорема 8.1), в |
|||||
силу которого |
количества положительных и отрицатель |
||||
ных квадратов |
этой формы равны 3й{Б-г, D 0, . . ., Dh-i) |
||||
и V (П_!, D 0, ..., Dh-i) соответственно. В силу леммы 12.1
это правило |
сохраняет силу и |
для формы H h+P (х, х), |
|
если только |
нулевым определителям из набора (12.19) |
||
приписать знаки по правилу (12.8). |
|||
Продвигаясь далее, т. е. |
переходя к минорам D h+p+i, |
||
D д+р+2,*•* (соответственно |
к |
формам Hh+P+1 (х, х), |
|
Hh+P+2 (ж, х),. |
. .), мы снова можем пользоваться правилом |
||
Якоби, пока эти миноры отличны от нуля (см. подстрочное примечание к доказательству теоремы 8.1 (сигнатурного правила Якоби)), а, наткнувшись на очередную (изолиро ванную) группу нулей, снова применить лемму 12.1 и т. д.
Продолжая это |
рассуждение, мы либо дойдем до мино |
|||
ра D р_! Ф 0 и вычислим с помощью нашего обобщенного |
||||
правила |
Якоби сигнатуру ст = хс — v формы Нп-г (х, х) |
|||
(равную |
в силу предложения 1° из § 6 сигнатуре формы |
|||
Нр-г (х, |
х), так как у этих форм один и тот же |
ранг р), |
||
либо обнаружим последнюю группу |
нулей: |
|
||
(Dr-г Ф 0), |
D r = D r+1 = . . . |
= Др-i = |
0. |
|
ккоторой следует применить лемму 12.2. Следовательно, доказана *)
*) В [4] приводится другое доказательство этой теоремы (гл. X , § 10, теорема 24), закпочптельная часть которого (случай, когда г < р), к сожалению, не корректна (ср. упражнения 8, 9 к настоя щему параграфу).