Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 164
Скачиваний: 0
108 |
ГАНКЕЛЕВЫ |
МАТРИЦЫ И ФОРМЫ |
[ГЛ. II |
|
Т е о р е м а 12.1 |
( с и г н а т у р н о е |
п р а в и л о |
Ф р о б е н и у с а ) . Пусть ранг вещественной ганкелевой формы IIn-i (я, я) равен р = г + к, где (г, к) есть харак теристика матрицы Нп~г этой формы. Рассмотрим набор
|
(1 = |
) D-1, |
D0, Dlt •••, Dp-2i Dp-i, |
|
|
в |
котором при |
к = 0 |
(г = р) положено |
D*p-X= |
Dp-X, |
а |
в противном |
случае |
Dp-X— Dp-X (см. |
лемму |
11.1). |
Нулевым определителям Dj-X (0 ■< / ^ р — 1), если та ковые имеются, припишем знаки по правилам (12.8) и (12.11). Тогда сигнатура or = я — v формы Нп-Х(х, х) определяется по формулам
я = 5s (D-X, D 0, ..., Dp-2,1 Dp-1),
v= 2? (Я .*,A ,, .... Dp-2, D'p-X).
Вкачестве полезного упражнения предоставляем чи тателю проверить, что сформулированное в теореме 12.1 правило можно эквивалентным образом переформулиро вать так:
П р а в и л о Ф р о б е н и у с а * ) . Выберем из на
бора D -x, D 0,- . Dp-2, Dp-X только отличные от нуля миноры
D—x, Da, Dp, D4, . . Da, D^, Dp-p,
рассмотрим все разности соседних индексов
а — (— 1 ) , |
р — а , |
у — Р, |
£ — Л> (р — 1 ) — £ |
|
и сохраним из них только нечетные; |
тогда **) |
|||
0 = |
S |
( - 1 ) ^ ( № |
Ч |
и (а д , ) . (12.20) |
K(1J— X) нечетные |
|
|
|
|
В частности, если в правойчасти формулы (12.20) не ока
жется ни одного слагаемого, то а = |
0. |
*) Именно в таком виде оно приводится в оригинальном мемуа- |
|
ре Фробениуса [44]. |
следует заменить D p_l |
**) В формуле (12.20) при р. = р — 1 |
|
на Dl_v -
§ 12] |
ГАНКЕЛЕВЫ ФОРМЫ |
109 |
Д о к а з а т е л ь с т в о без большого труда получает |
||
ся с помощью лемм 12.1 и 12.2. |
Фробениуса позво |
|
12.7. |
Приведенное выше правило |
|
ляет обнаружить некоторые новые закономерности в рас пределении нулей и знаков плюс и минус в наборе после довательных главных миноров ганкелевой формы.
Т е о р е м а 12.2. Пусть, как обычно, п и v — коли чества соответственно положительных и отрицательных квадратов ганкелевой формы Нп- г (х, х) ранга р = я + v,
аа — я — v — ее сигнатура. Обозначим
ч= min {я, v }.
Тогда в наборе последовательных главных миноров
(1 = |
)D -1,D 0,D 1, ... ,D P. 1 |
(12.21) |
формы Нп-г {х, х) |
при Dp-X=j= 0 содержится |
не более |
2ч нулей. Если этих нулей точно 2ч, то после их удаления из набора (12.21) знаки внутри каждой из оставшихся групп чисел {не считая чисел, стоящих изолированно) при % = я строго чередуются, а при ч = v совпадают.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
1) Если бы нулей в (12.21) |
||||
было не менее чем 2ч + |
1, то после их вычеркивания по |
||||
лучился бы набор |
|
|
|
|
|
D-i, Dai D$, Dy, . . . , D^, DfyDp-i, |
(12.22) |
||||
содержащий |
не более |
р + |
1 — (2ч + |
1) = |
р — 2и чи |
сел, и поэтому в сумме |
|
|
|
|
|
в=> |
S |
( - l ^ ^ s i g |
n ^ |
) (12.23) |
|
|
X) нечетные |
|
|
|
|
подавно осталось бы не более р — 2ч — 1 ненулевых сла гаемых. А так как все они по модулю равны единице, то
|я — v |
|= |и |^ р — 2ч — 1. |
(12.24) |
С другой стороны, |
|
|
- Г cr = р — 2v = 2я — р, . |
|
|
[ — а = |
р — 2я, |
|
откуда |
|
|
П о ' 1 > Р — 2v, 11 о 1> р — 2я,
но |
ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ |
[ГЛ. II |
т. е.
|а |> р — 2 min {я, v} = р — 2х,
что противоречит неравенству (12.24). 2) При х = я имеем я <^v, т. е.
|
О |
> я — V — а = 2 я — р = 2х — р. |
Но если |
нулей в ряду (12.21) точно 2х, то в ряду (12.22) |
|
остается |
точно |
р — 2х + 1 чисел, а в сумме (12.23) — |
не более р — 2х отличных от нуля слагаемых. Заметим, что равенство 0 = а (= 2х — р) невозможно,
ибо оно означало бы, что в (12.22), содержащем, как вы
яснилось выше, точно |
р — 2х-|-1 чисел, не |
осталось ни |
|
одного минора, а это |
противоречит условию D p |
0. |
|
Итак, сг<^ 0. Тогда |
а = — (р — 2х), и, |
стало |
быть, |
в сумме (12.23) отличны от нуля (а именно, |
равны (— 1) |
||
каждый) точно р — 2х слагаемых. Это означает (см. (12.23)) строгое чередование знаков внутри каждой из ненулевых групп набора (12.21), так как в этих группах р, — X— 1 = 0.
Случай, когда х = v |
(я !> v), |
трактуется вполне |
ана |
|||||
логично. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры и упражнения |
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Рассмотрим ганкелеву форму порядка п = 6: |
|
||||||
Н ъ (х, |
х) = ^ + |
2£0Е3 + 26,6, + |
|
Ц + |
2 6 J , + 2|2?4 + 2g4gB+ |
% |
||
с матрицей (ср. |
пример 3 к § И ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
Н о = |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
= 1 , П о = 1, H i = о, Т>2— — |
1 |
Таким образом, г = 3. Для установления |
ранга р и минора Л*р1 |
(см. теорему 12. 1) |
воспользуемся |
результатом |
примера |
3 к § 11, |
согласно которому |
у матрицы Н ъ ранг р равен 4 и |
= D3 = |
||
= — 1, так что |
По, Du Du D '} = |
fl, 1, 0, - |
1, - 1 ) . |
|
{D_v |
(12.25) |
|||
§ 12] |
|
|
ГАНКЕЛЕВЫ ФОРМЫ |
Ш |
|||||
Отсюда |
по |
правилу (12.20) |
*) |
|
|
|
|
||
|
|
а = sign (1-1) + |
sign (—1)(— 1) = 2, |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
т. е. я = — (р + а) = 3, v = - у (р — б) = 1. |
|||||||||
2. |
Рассмотрим гаикелеву |
форму |
|
|
|||||
Здесь |
Я 3 (х, *) = 2£0£3 + 2E J, - 2Б| - 4 £ J , + |
||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Яз = |
0 |
|
0 |
1 |
—2 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
—2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
—2 |
0 |
3 |
|
|
т. е. D_y = |
1, D , = D X: = |
D o = |
о, |
•Оз |
= 1. |
Таким образом, р = |
|||
— п = |
4, и |
по |
правилу |
Фробениуса |
а = |
0 (разность индексов |
|||
3 — (— 1) = |
4 |
четная, и, |
стало быть, |
в сумме (12.23) не остается |
|||||
отличных от нуля слагаемых). Поэтому я = |
v = 2. |
||||||||
Заметим, что ни одно из правил, установленных в § 8, к данному примеру непосредственно не применимо (равны нулю три рядом стоя щих минора Do, D u Do).
3.Найти ранг р и сигнатуру о ганкелевой формы
# ,(*, * )= 2g® — 2Е ^ + 12^ + 24 ^ 3 + 4 |
^ |
- |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
- |
106J, - |
10gog3 - |
58Ыз ~ 3£1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
Ответ, |
р = |
3, ст = |
— 1. |
|||
|
4. Доказать, что теорема 12.2 сохраняет |
силу и при Dp_x = |
0, |
|||||||||
если верхнюю оценку 2к заменить в ней на 2х + |
|
1. |
|
|
|
|||||||
|
5. |
Оценка 2л в теореме 12.2 |
(при D р_х + 0) |
является точной. |
||||||||
Это видно уже из простого примера: |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Но (г, х) = 2£0£2 + ^ , Но = |
0 1 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
Здесь р = 3; D_x — 1, Do = D\ =■ 0,Do = |
— 1. По с |
|
|
|
||||||||
(или теореме 8.3) о = |
i , так что п = 2, к = |
V = |
1. П |
му 2к — 2> |
||||||||
а набор D_v D0, Di, Do содержит точно два нуля, |
т. е. |
оценка точна. |
||||||||||
|
6. Придумать пример, подтверждающий, |
что |
и |
при D |
х = |
0 |
||||||
оценка 2х + 1 (см. упражнение 4) является точной. |
|
|
|
|||||||||
|
7. Показать, что теорема 11.8 для вещественных ганкелевых |
|||||||||||
матриц |
допускает |
следующее |
к) |
уточнение: |
помимо |
параметров |
||||||
п |
2), г О 0, к > |
0 (п > г + |
можно заранее задаться сигнату- |
|||||||||
|
*) |
Поскольку D |
х — Da = |
0, |
правила § 8 здесь неприменимы. |
|||||||