Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

п—1

рой а формы Н п^1 (х, х) — 2 si+iZfijс матрицей IIn_v выбрав в ка-

i, i—о

честве с любое целое число в отрезке [ —г, г] одинаковой четности с г -j- к. При этом в случае четного к — 2т неособенную матрицу Нг_г порядка г в п. 1) теоремы 11.8 нужно сразу выбрать так, чтобы

соответствующая ганкелева форма НТ_г (г, х) имела сигнатуру а.

ранга р число г < р, то замена переменных

~ ®»0’ Ф= ^i> •••>V i = ^r-lj

' Чг == %п-р |-г> Лг+ 1 = ^n-p-t-r+1 ’ •••1 'Пр—1 ~ ^ п -й

'Пр ■ %г > 'Лр+Х = ^г+1> ■ ■ • >Ч п - 1 — ^ п -р + г -1

приводит форму Я п-1 (х, х) к виду

71—1

Я п_ э > , х) = Ап_ 1 { у , у ) = 2 V W

1,1=0

Доказать, что теперь в наборе последовательных главных ми­ норов полученной формы минор порядка р, т. е.

d e t I K ; Hi,7io

совпадает с й н , т. е. с минором, о котором идет речь в правиле Фробениуса (теорема 12.1, см. также лемму 11.1) [4] *).

9.Убедиться, что ганкелева форма

Я5(*,* )= б * + б* + б! + 2 £о£з + у , + Мв + s2i4 + Ш -

*) Этот результат используется в [4] на стр. 310 при доказа­ тельстве правила Фробениуса для сведения случая г < р к разоб­ ранному ранее более простому случаю г = р. Однако при этом упу­ щен из виду тот факт, что новая форма Ап_^ (у, у) уже це является,

вообще говоря, гапкелевой (см. упражнение 9), т. о. к ней неприме­ нимы выводы, сделанные ранее для ганкелевых форм с г = р (ср. с подстрочным примечанием на стр. 107).

§ 12] ГАНКЕЛЕВЫ ФОРМЫ 113

при замене переменных, предложенной в упражнении 8, переходит в форму А ь (у, у), уже не являющуюся ганкелевой.

Ук а з а н и е . Воспользоваться данными примера 1.

10.Бесконечная последовательность вещественных чисел

s0, sr sv . . .

т—1

Нт^ (х , х) = 2

i,/=0

имеют в каноническом представлении точно х положительных квад­ ратов.

Если гаыкелева форма

п—1

Яп-1 (*. *) = 2 *i+№ i, J=0

ранга р имеет я положительных квадратов, то для того чтобы ко­ нечный набор

so> Sl> • ■ •> S1n-%

ее коэффициентов допускал продолжение до бесконечной последо­

*) Литературные указания см. ниже в § 16, замечание к уп­ ражнению 8.

А так как а (0) Ф 0 и Ъ(0) =j= 0, то это уравнение снова имеет бесконечное множество решений {х, у}.

Таким образом доказано, что и при Dn-2 ф 0 и в слу­ чае £)„_2 = 0 матрица Тп-г имеет бесконечное множество особых продолжений Тп.

З а м е ч а н и е 1. Если тпеплицева матрица Тп-\ э р м и т о в а , то в условиях теоремы 13.1 и среди осо­ бых продолжений Тп существует бесконечное множество эрмитовых продолжений.

В самом деле, в этом случае все миноры!)0, D1,. . ., Dn-i