Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

118

ТЕШИЩЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

[ГЛ. III

Это видно из соотношений (13.4) — (13.6), в которых

все коэффициенты теперь вещественны.

и

З а м е ч а н и е 3. Если Тп-г— в е щ е с т в е н н а

э р м и т о в а (с и м м е т р и ч е с к а я ) матрица,

то

(У5п_2

zo)2 = 7)n-i

(zo

=

-^п-2 4= 0)'

откуда

£ =

( ±

I £ „ -il +

zo)-

В случае же D„_2 = 0

нужно решить уравнение (13.8),

имеющее теперь вид

2а£ +

у =

0

(а = а =j= 0),

откуда

£ = — у/(2а).

матрица

Тп^ особенная, спра­

13.4.

В

случае, когда

ведлива

13.2

( в т о р а я

т е о р е м а

о п р о ­

Т е о р е м а

д о л ж е н и и ) .

Пусть Гп_г — особенная теплицева мат­

рица и ранг

ее р (<^ п).

Если главный минор Dp-хф О ,

то существует единственная пара чисел сп, с_п,

определя­

ющая особое продолжение Тп матрицы

Г,,.-!-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При р =

0 утверждение те­

оремы тривиально:

сп =

с_п = 0.

Поэтому пусть р )> 0.

Поскольку всякие р + 1 столбцов

матрицы Тп_х линейно

зависимы, то,

в частности, для первых р + 1

столбцов

такая,

что

®1®р—1 + - •• + &рСр-р — о

(р =

0, 1,

. . ., п -

1).

(13.9)

При этом, если ограничиться

здесь

значениями р = 0,

1,..., р,

то заметим, что числа а0, %,

..., ар

пропорцио­

нальны

алгебраическим дополнениям

элементов

первой

(а также последней) строки определителя Dp (ср.

упраж­

нение 6 к § 9). Отсюда следует,

во-первых, что а0 =^=0и

арф 0

(поскольку Dp-X=f= 0),

а во-вторых,

что отноше­

§ 13]

ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ. ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ

119

ментами минора D p, т. е. числами с„ (v = 0, + 1, +

2,...

+

р).

ваться в силе и при р =

?г, т. е. элемент

Сп = ------Т“ Сп- 1

-----— сп -2 —

~ сп-р

(1 3 Д 0 )

“о

“о

а0

b 0c q + frlcg+l + • • • + bpCq+p = 0

(q = 0, — 1,. . ., — 71+ 1),

(13.11)

С-п —

Т~ С-71+1

~Т~ С-п+2

Г- С-п+р- _ (13 .1 2)

и0

и0

и0

со

с-1

■••

C~n+1

С1

С0

■•• с-п+2

с п - 1 СП - 2

(13 .1 3)

*..

С0

° п

сп- 1

■■.

Cj

120

ТЕПЛИЦЕВЫ

МАТРИЦЫ И

ФОРМЫ

[ГЛ. III

с—П

столбец

, получаем матрицу

Тп, а из

формул

(13.11)

\ Со /

и (13.12) заключаем, что этот столбец также выра­

жается линейно через

р предыдущих,

а значит,

и через

сш

*"п+1>

•••>

C-n>

с_п+1' •••

(13.14)

такие, что все соответствующие продолжения

Тп-\+ч = ICp^g|(^7g=o

(v =

1, 2,...)

являются особыми (т.

е. сохраняют ранг р).

Последовательности (13.14) определяются рекуррент­

ными соотношениями

а0ср +

а^р^ +

. . . +

арср_р= 0

(р =

п, п + 1,. ..),

b0cq +

V g+ i +

••■+

fcpCg+p — 0

(g =

— re, — re — 1, ...),

в которых коэффициенты (0 ф) а0, %, . . . , ар (=?= 0)

(соот­

ветственно (0 Ф) b0, blt. ..,

bp (Ф 0)) пропорциональны ал­

при р = 0 имеем cv = 0 (v =

+ re, ± (re

1),. . .).

Иными словами, следствие

из теоремы

13.2 гаранти­

бесконечного особого

продолжения Г», матрицы Тп- г.

З а м е ч а н и е 1.

Если

матрица Тп-^

эрмитова

(с-р = ср, р — 0, 1,. .., п — 1),

то

в условиях

теоремы

13.2 можно, очевидно,

считать aj =

bj(j = 0 ,

1, .

р).

Поэтому при р = п,

q — — re из соотношений

(13.9)

и

(13.11) следует,

что с_п = сп;

полагая затем р =

п +

1,

g = — re — 1,

получим с_п_х =

сп+1

и т. д., т. е.

особое

§ 13] ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ. ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ

121

Ясно, лто аналогичное

утверждение

справедливо для

с и м м е т р и ч е с к о й

(комплексной)

теплицевой

мат­

рицы.

Тп-г

З а м е ч а н и е 2. Для вещественной матрицы

продолжение Та,

по теореме 13.2, очевидно,

вещественно;

в частности, из

замечания 1 следует,,

что

вещественная

некоторых миноров порядка р теплицевой

матрицы Тп-Х

ранга р ()>

0). С этой целью рассмотрим у матрицы

со

с-1

й- р+1

с- р

••• й-п+1

С1

С0

■" й-Р+2 с- р+1

с-п+2

ср-1

йр-2

С0

c- i

С-П+р

ЙР

V -i ••• С1

й0

С-П+Р+1

сп-1

сп -2 Сп-р

сп -Р-1

...

С0

ранга

р О

0)

миноры порядка

р вида

йо>

СШ-1

-

V

-р+1

. o<S

II

йО>+1

ЙШ

-

V

-Р+2

(— п +

р <

со <; п — р).

Сш+р-1 йш+Р-2 - йо>

(13.15)

Будем считать, что р -< п, ибо при р =

п имеем со = 0,

Д2° -

Dn-i, и дальнейшие рассуждения бессодержатель­

ны. Заметим, что всегда

Д(р0) =

Dp^.

Поскольку

ранг

матрицы Тп-.г равен

р,

то

справедливы

формулы

(13.9)

и (13.11),

причем, если

Dp =j= 0, то в

этих

формулах

а0 Ф 0, арф 0;

b0 =f=0,

Ър =j= 0.

Более

того,

как

было

замечено в п. 13.4,

эти

коэффициенты

пропорциональ­

ны некоторым

алгебраическим

дополнениям

элементов