Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 166
Скачиваний: 0
122 |
ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ |
[ГЛ. Ill |
минора Dp, а именно (в принятых только что обозначениях):
ctо |
|
flp |
а 0 |
Др |
|
|
д(0) |
= |
(_1)Р+2д(1> |
’ (_ ^р+гд^-Ц ~ |
д(0) |
’ |
(13.16) |
Д ^ Г |
= |
( _ 1)Р +2 д {—1) |
'• (_ 1)Р+2д(р1) = |
- J W |
■ |
( 1 3 Л 7 ) |
Из формул (13.16) (равно как и из (13.17)) вытекает соот ношение
|
|
Ар0 Ар_1) = |
[ Ар0)]2. |
|
|
(13.18) |
|||
В частности, |
условие (.Dp-! |
==) Д(р0) =j= 0 |
влечет |
за собой |
|||||
неравенства |
4= о и Ар 1 =j= 0 (см. в этой связи упраж |
||||||||
нение 6 в конце параграфа). |
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим теперь произвольное целое со (— п + |
р ^ |
||||||||
^ со ^ |
п — р —1). Предположив для определенности, |
что |
|||||||
со < 0, |
выразим (считая |
D p_! =j= 0, |
а |
значит, |
ар =j= 0) |
||||
последний из |
использованных |
в |
определителе |
Д(рш) (см. |
|||||
(13.15)) |
столбцов матрицы |
Тп-г с помощью формул (13.9) |
|||||||
через р предыдущих столбцов *) |
этой |
матрицы: |
|
||||||
Ор-р — |
а0 „ |
а1 . |
|
“ р-1 „ |
|
|
|
|
|
— - Ср |
— С р-х . . . |
- Ср-р+1 |
|
|
|
||||
|
% |
% |
|
аР |
|
|
|
|
|
|
|
|
(р = |
со + |
1, |
со + 2,..., со + р) |
|||
(мы ограничились здесь лишь нужными нам значениями индекса р, дающими в левой части формулы все элементы
последнего столбца определителя ДрШ)). Внеся эти выра жения в Д(“>и применив теорему сложения, получим
Сш |
V -1 |
•• |
Сш-Р+2 |
Сы+1 |
|
ДрШ) = - А Ссо+1 |
|
|
Сш-р+3 |
Сш+2 |
( _ i)m |
р |
|
|
|
|
|
Ссо+р -1 |
СОН-р-2 |
" ’ |
Сш+1 |
с ш+р |
|
*) Отрицательность индекса со гарантирует здесь наличие в мат рице Тп-1 этих р столбцов. Впрочем, для этого достаточно уже, чтобы
и <С п — Р- Если же со = п — р, то минор |
занимает левый |
нижний угол матрицы Ур-х' и иаше рассуждение неприменимо.
§ 131 ТЁПЛИЦЁВЫ МАТРИЦЫ. ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ |
123 |
Учитывая соотношения (13.16), получаем рекуррентные формулы
|
л(0) |
|
|
|
|
д(-1) |
|
|
|
|
ДрШ) = ТТп ^рШ+1) |
или |
д рш) ~ ~гпгг д рш+1)1 |
(13.19) |
|||||
|
Лр; |
|
|
|
|
Др' |
|
|
|
где о |
= — 1, —2,..., — п-\- Р- Эти формулы справедливы |
||||||||
и при со = 0, когда первая из них |
тривиальна, |
а вторая |
|||||||
переходит в (13.18). |
|
|
|
|
то к тем же формулам |
||||
Если же (п — р — 1 ;> ) о )> 0, |
|||||||||
(13.19) |
мы приходим, используя соотношения |
(13.11) |
и |
||||||
(11-17). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, установлено: |
|
|
|
|
|
равен |
р |
||
1°. |
Если ранг |
теплицевой матрицы Тп-х |
|||||||
(О < р < п) и (Др0) = ) Dр_х Ф 0, |
то |
Д<» =/=0, Др-1) =f= 0 |
и |
||||||
|
Д‘“,Д «= |
Др“+1)Д(р0); |
Д(рИ)Д(р0)= ДрШ+1)Др_1) |
|
|
||||
|
(— п + р ^ а ^ п |
— р — 1). |
(13.20) |
||||||
По поводу обобщений этого предложения см. упраж |
|||||||||
нения 6 и 7 в конце параграфа. |
|
|
|
|
|||||
Из |
предложения 1° как очевидное следствие находим: |
||||||||
2°. |
В условиях предложения 1° |
имеем при любом |
со |
||||||
(— п + р < с о < / г — р) |
|
|
|
|
|
||||
|
Г |
A^ l |
Cii |
д<°>- |
- |
д(0) |
л |
|
|
|
|
|
|
Др0) =^= 0 *). |
(13.21) |
||||
|
Д<ш) = |
д(0) |
|
L |
|||||
|
L |
р _ |
|
|
|
|
|||
Это предложение, которое можно было бы назвать леммой о скольжении (отличного от нуля «рангового» ми
нора Др0)), понадобится нам в §§ 14 и 15.
Примеры и упражнения
1. Ранг теплицевой матрицы четвертого порядка
0 |
0 |
- 1 |
0 |
2 |
0 |
0 |
— 1 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
*) Ср. упражнение 9 к § 9.
124 |
ТЕПЛИЦЕВЫ |
МАТРИЦЫ |
И |
ФОРМЫ |
|
|
£гл. ш |
|||||||
равен 3. |
По теореме 13.2 матрица |
Т3 с минором |
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
0 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
£>а = 2 0 |
|
0 |
|
- 4 + 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
допускает единственное особое продолжение |
Т4. Найдите его. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
— 1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
0 |
— 1 |
|
0 |
|
|
Ответ. Т\ = |
|
0 |
2 |
|
0 |
0 |
- 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
- 4 |
0 |
|
0 |
2 |
|
0 |
|
У к а з а н и е . |
Воспользоваться формулами |
(13.10) |
и (13.12). |
|||||||||||
2. Для эрмитовой теплицевой |
матрицы (порядка п = |
2) |
||||||||||||
|
|
Тх |
|
— 2 |
5 + |
4£ II |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5 — 4t |
— 2 I |
|
|
|
|
|
|
|||||
матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
— 2 |
5 + |
4; |
- |
3i |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Т2= 5 — 4i |
|
— 2 |
|
5 + 4i |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Зг |
|
5 — 4г |
— 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
- 2 |
5 + |
4i |
|
— 3£ |
|
7 |
|
|
|
|
||
|
|
5 — 4г |
|
— 2 |
|
5 + 4г |
|
- Зг |
|
|
|
|||
|
|
3i |
5 — 4г |
|
— 2 |
5 + 4г |
|
|
|
|||||
|
|
7 |
|
Зг |
|
|
5 — 4£ |
|
- 2 |
|
|
|
||
|
|
— 2 |
|
|
5 + 4г |
1 |
СЛ |
1 |
Сл |
|
|
|||
|
% = |
5 — 4г |
|
|
|
— 2 |
|
5 + 4г |
|
|
|
|||
|
— 4,5 + 1,5 £ |
5 — 4г |
|
|
— 2 |
|
|
|
||||||
|
— 2 |
5 + |
4г |
|
— 4,5 — 1 ,5г |
|
— i |
|
||||||
|
сд 1 |
|
I t>o |
|
|
5 + 4i |
|
1 |
СП |
1 |
сл |
|||
|
— 4 , 5 + 1 , 5г 5 — 4г |
|
|
|
— 2 |
|
|
|
5 + 41 |
|
||||
|
г |
— 4 ,5 + 1 ,5 1 5 — 4г |
|
|
— 2 |
|
||||||||
все являются эрмитовыми продолжениями. Кроме того, Ts есть
продолжение матрицы Тг, |
а Т3 — продолжение матрицы |
Т%. Для |
|
Тх матрица Тч есть |
особое |
продолжение (проверьте!). |
|
У к а з а н и е . |
Вычисление определителя Dx = det fa |
проще |
|
всего (в силу эрмитовой и теплицевой структуры матрицы Та) провести по формуле Сильвестра (2.6) — ср. замечание 1 к теоре ме 13.1.
§ 14] |
ХАРАКТЕРИСТИКА |
125 |
3. Сколько вещественных особых продолжении четвертого по рядка имеет теплицева матрица
3 |
О 1 |
? |
Га = 0 |
3 0 |
|
1 |
О 3 |
|
Найдите их. |
теплицева |
матрица |
Тп 1 |
— (комплексная) |
симмет |
|||
4. Пусть |
||||||||
рическая: с_р — ср (р = |
0, 1,. . ., п — 1). Доказать, что в условиях |
|||||||
теоремы 13.1 |
матрица Гп_1 допускает при Dn_2 =/= 0 |
не более двух, |
||||||
а при |
Dn_2 = 0 — единственное |
симметрическое |
особое |
продол |
||||
жение (ср. с замечанием 3 к теореме 13.1). |
|
(13.3)) |
||||||
У к а з а н и е . Положить |
в |
(13.2) |
(соответственно в |
|||||
х — у = |
£ и пересмотреть для |
этого случая соотношения |
(13.4), |
|||||
(13.5) и (13.6).
5. Доказать, что формула (13.18), выведенная выше в предпо ложении { D — ) А») Ф 0, остается в силе и при Д® = 0 (ср.
с указанием к упражнению 8 в § 9). |
матрицы ранга р |
6. Привести пример, когда у теплицевой |
|
при Д<р°> = 0 один из определителей Д(1^ или |
отличен от нуля. |
Показать, что для эрмитовой или (комплексной) симметрической матрицы (даже не обязательно теплицевой) это невозможно — ср.
суказанием к упражнению 8 к § 9.
7.Показать, что формулы (13.20), выведенные в предположе
нии Д<м Ф 0, подобно своим аналогам для ганкелевых матриц
(см. формулы (9.7)), обобщаются на случай, когда (Dp l — ) A ^ = 0.
У к а з а н и е . При Д ^ = Др-1' = 0 утверждение тривиально;
если же один из определителей отличен от нуля (см. упражнение 6), то воспользоваться формулами (13.9) и (13.11).
8. В предложении 2°, в частности, утверждается, что из неравенства Ор_1 ф 0 (р — ранг теплицевой матрицы Тп__г ) следуют
неравенства Д ^ О ( - п + р < со < п — р) (для ганкелевых мат - риц аналогичное заключение неверно — ср. упражнение 9 к § 9) •
Показать, |
что подобное утверждение не распространяется на |
|
л ю б ы е миноры (порядка р) матрицы Tn__v т. е. |
при О р_г ф 0 |
|
н е к о т о р ы е |
миноры порядка р (в отличие от |
с п е ц и а л ь |
н ы х миноров |
Д<“ >) могут равняться нулю. |
|
§14. (>•, U, ^-характеристика теплицевой матрицы
14.1.Как и в случае ганкелевых матриц, теорию теплицевых матриц мы будем развивать, исходя из их спе цифических целочисленных характеристик, которые в данном случае также несколько усложняются из-за от сутствия (в общем случае) симметрии.
126 |
ТЕПЛИЦЁВЫ МАТРИЦЫ |
И ФОРМЫ |
1ГЛ. Ш |
|||
Для произвольной теплицевой матрицы Т |
порядка |
|||||
п (]> 0) и |
ранга |
р (0 |
р ^ п) |
рассмотрим |
набор всех |
|
ее последовательных |
главных |
миноров |
|
|||
(1 |
— ) |
D0, Di, ■ . ., |
Dr~i, D,............, Dn-x- |
|||
Пусть в этом наборе последним (слитая слева направо) отлилным от нуля является минор . D Иными словами,
целочисленная константа г (0 г ^ р) определяется, тол-
но так же как в слулае ганкелевой матрицы (ср. § 10),
соотношениями
|
D r-Xф 0, |
= 0 |
(v > г), |
|
|
из которых второе при г = |
п (= р), разумеется, отпадает. |
||||
Две другие целолисленные константы k, I введем сле |
|||||
дующим образом. При г = |
р, по определению, к = |
I — 0. |
|||
Таким образом, в ластности, к = |
I = |
0 при р = |
0, ибо |
||
тогда и г — 0, а также при р — п, когда и г = п. |
«усе- |
||||
Пусть |
теперь 7' < р (0 < р < |
п). |
Рассмотрим |
||
ненную» |
матрицу |
|
|
|
|
|
Тг = |
II cp-q lip,а=о- |
|
|
|
Матрица Тг особенная (Dr = 0), ранг ее равен г (П, - 1 Ф 0). В силу второй теоремы о продолжении единственным об
разом определяются |
две б е с к о и е л н ы е |
последова |
|||
тельности |
Сг+1, |
сг+2, |
|
|
(14.1) |
|
■. •, |
С—7*—2, ■• о |
|||
задающие |
особое |
продолжение Т |
матрицы |
Тг, а также |
|
ее «промежутолные» (конелные) особые продолжения Тг+Ч
(v - |
1, 2,. |
. .) *). |
|
|
|
|
Параллельно |
с (14.1) рассмотрим к о н е л н ы е на |
|||||
боры |
элементов |
|
|
|
|
|
|
Cr+1! |
^г+2> |
• ■ •> |
®п—X» |
^ -г-1! С -г-о , |
• • ч С-п+1 |
|
|
|
|
|
|
(14.2) |
исходной |
матрицы |
Тп-Х. Каждый из этих двух наборов |
||||
непуст, так как г < |
п — 1 |
(ибо г < ; р < |
п). |
|||
*) Ясно, лто при г = 0 имеем Т = 0.