Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 167
Скачиваний: 0
§ 14J х а р а к т е р и с т и к а 127
Сравнивая наборы (14.2) с последовательностями (14.1),
определим константы к и I соотношениями
c r+i |
— |
c r+i) •••5 |
сп-к-1 = |
сп-к-1) |
сп-к 4= |
1 /,< / о\ |
|||||
^ -г- 1 = |
г-1» |
•••> ^-п+(+1 |
~ |
с -п+1+1> |
С -п н |
|
С_п+[. |
||||
Таким образом, |
при г < |
р имеем |
|
|
|
||||||
|
|
0 < f t , |
Z < n — г — 1, |
|
Zc + Z > 0 . |
(14.4) |
|||||
Поясним, |
что, |
хотя каждое из чисел /с и Z |
в отдельности |
||||||||
и при |
г < р |
может оказаться |
равным |
нулю, теперь |
|||||||
к + Z)> 0, так как при к = |
I = |
0 |
ранг р матрицы Тп_г |
||||||||
совпал бы с г вопреки предположению. |
|
смысл констант |
|||||||||
14.2. |
|
Как и для ганкелевых матриц, |
|||||||||
к я I лучше всего |
усматривается |
из схемы |
|
|
|||||||
(14.5)
Если элементы сч (v = 0, 1, ..., п — 1) матрицы Т,^, не совпадающие с соответствующими элементами с( матри
цы Т^, назвать «испорченными», то число к указывает, на каком «расстоянии» (в смысле числа диагоналей) от ле вого низшего угла матрицы находится ближайшая к бло ку Тт«испорченная» диагональ. Совершенно аналогично определяются «испорченные» элементы из набора c_v (v = 0, 1,..., п — 1), а константа Zуказывает «расстояние» первой (после блока Г,.) «испорченной» диагонали от пра вого верхнего угла матрицы Тп_г В частности, при к — О (соответственно 1 = 0) левый нижний (соответственно правый верхний) угол матрицы Г„_г не содержит «испор-
128 |
ТЕПЛИЦЕВЫ |
МАТРИЦЫ |
И ФОРМЫ |
|
[ГЛ. Ш |
|||||||
ленных» элементов: сг+1 = с'г+1, |
..., сп_х = |
с^ г (соответст |
||||||||||
венно |
с,.,.-.! = |
|
|
c_n+1 = |
cln+1). |
Если |
при |
этом |
||||
еще и |
г = 0, то, |
поскольку |
в |
этом |
случае |
= О, |
||||||
имеем |
|
t |
|
|
|
|
|
. . . = |
0 |
|
|
(14.6) |
|
Cq — с'+1 ~ с'±2 = |
|
|
|||||||||
и при |
к — О (I > |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1“° |
0 . |
,0 Ч |
к - • С-пА |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 . |
.0 |
о4 |
|
\^-п*2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 . |
.0 |
0 |
0 /> |
|
|
|
(14.7) |
||
|
|
0 0 . .0 |
0 0 .. . о \ |
|
|
|
||||||
|
|
0 |
0 . |
.0 |
0 |
0 .. .0 |
|
|
|
|
||
Аналогичная картина получается при г = |
I = |
0 (к |
0). |
|||||||||
Упорядоченную тройку (г, Л, Z) определенных выше |
||||||||||||
констант назовем (г, |
/с, |
^-характеристикой или просто |
||||||||||
характеристикой теплицевой матрицы Гп_х, |
а величины |
|||||||||||
г, k, I — составляющими |
(компонентами) |
(г, |
к, ^-харак |
|||||||||
теристики. Из замечания 1 к теореме 13.2 следует, что для
э р м и т о в ы х |
и с и м м е т р и ч е с к и х |
теплицевых |
матриц Тп-г всегда к — I, так что в этом случае можно |
||
говорить об (г, |
к, к)-характеристике или, |
короче, об |
(г, к)-характерйстике. |
|
|
Отметим еще такой очевидный (см. схему (14.5)) факт. 1°. Еели в (г, k, I)-характеристике матрицы Тп-г составляющая к 0 (соответственно I 0), то при переходе от матрицы Тп-г к любому ее продолжению Тп с deb Тп = 0 *) первая составляющая (компонента) г характеристики не изменится, а вторая к (соответствен
но третья I) увеличится на единицу.
14.3. В заключение настоящего параграфа используем схему (14.5) для доказательства еще одного нужного в дальнейшем предложения:
2°. У матрицы Тп^г (см. схему (14.5)) с (г, к, I)-харак теристикой, в которой г 0, отличен от нуля любой
*) |
При det Тп ф 0 характеристика матрицы Тп будет иметь вид |
(re + 1, |
0, 0) — см. п, 14.1. |
§ 14] XАРАКТЕ РИСТИКА 129
минор А(гш) порядка |
г вида |
|
|
|
|
°w |
сш-1 |
••• сш-г+1 |
|
А'м) = |
сш+1 |
сш |
сш-г+2 |
) |
|
Сш+г- 1 |
сш+г-2 |
••• Ссо |
|
где целое число щ удовлетворяет неравенствам
|
— ra + Z + |
r — 1 < |
со < п — к — г + 1. |
(14.8) |
||||
В самом деле, при г = |
п утверждение тривиально, ибо |
|||||||
в этом |
случае |
к = |
I = 0, |
так |
что со = О, аД$.ш) = |
— |
||
= Dn-i 4s 0- |
Пусть |
теперь |
г |
п. |
Условия (14.8) |
дают |
||
<о |
+ г — 1<^/г |
— к, |
|
со |
— г + |
1 >• — п ф I. |
|
|
Сопоставив эти неравенства со схемой (14.5), убеждаемся,
что минор Д<ш) «не задевает» отчеркнутых на этой схеме углов, т. е. не содержит «испорченных» элементов матри
цы Тп-Х. Но тогда его можно считать минором матрицы (или, если угодно, полученной из нее «усеченной» матри
цы |
Тпф ранга г. Положим теперь р = г и заметим, |
|
что |
из (14.8) следует |
условие |
|
— п + |
г < со < — г, |
при котором применима лемма о скольжении (§ 13, пред ложение 2°). В силу этой леммы А(гш) ф 0.
Примеры и упражнения
1.У тешгицевой матрицы
0 |
0 |
0 |
0 |
3 — 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5£ |
0 |
0 |
0 |
0 |
ут |
5г |
0 |
0 |
0 |
в (г, к, ^-характеристике, очевидно, г = 0, так как Д0= Dx —
= D2 = D3 = Д } = 0. Поэтому соответствующая матрица |
(см. |
и. 14.2) состоит целиком из нулей. Но тогда из вида матрицы Тц следует (см. (14.3) и схему (14.5)), что для нее к = 2, I — 1. Итак, характеристика матрицы Г4выглядит так: (0, 2, 1).
5 И, С, Иохвидов
130 |
ТЕШ1ИЦЕВЫ |
МАТРИЦЫ |
И ФОРМЫ |
[ГЛ. III |
||
2. |
Какова (г, к, ^-характеристика |
теплицевой |
матрицы |
|||
|
0 |
0 |
— 1 |
0 |
0 |
|
|
2 |
0 |
0 |
— 1 |
0 |
|
|
0 . 2 |
0 |
0 |
- 1 |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
|
|
о ' |
0 |
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Ответ.. (3 ,1 ,0 ). |
|
У к а з а н и е . Ср. с примером 1 к § 13.
3.Эрмитова теплицева матрица
1 |
i |
— 1 |
— i |
i |
— г |
1 |
i |
— 1 |
— i |
— 1 |
— i |
1 |
i |
- 1 |
i |
— 1 |
— i |
1 |
i |
1 |
i |
— 1 |
— i |
1 |
имеет ранг р = 1 (почему?). Поэтому, очевидно, и г = 1, а посколь ку г — р, то к — I = 0.
4. Найти (г, ^-характеристики симметрических теплицевых матриц
1 i 0
i 1 i , T ,=
0 i 1
II
Ответ.
0 |
l |
0 |
1 |
1 |
l |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
l |
0 |
1 |
0 |
1 |
l |
1 |
0 |
1 |
о |
(3, 0), (1, 1), (2, 1).
5. Вычислить (г, к, ^-характеристики теплицевых матриц
|
|
- i t |
- 2 |
4i |
|
|
1 |
4< |
— 2 |
7’г = |
2 |
— ‘ |
||
г |
1 |
|
||
|
|
— 1 |
||
|
|
— 4 |
2 |
|
|
|
г |
2 |
4г |
|
|
1 |
i |
2 |
r 2 |
= |
— 2 |
||
i |
1 |
|
||
|
|
1 |
||
|
|
— 4 |
— 2 |
|
|
|
|
Ответ. |
|
,r a =
II «<£
(1, 1, 0);
— г |
2 |
— 4i |
|
|
1 |
— г |
2 |
|
2 |
||
|
£ |
1 |
1 |
~ |
4 |
2 |
|
|
i |
2 |
— 4i |
|
1 |
1 |
2 |
— 2 |
|||
|
г |
1 |
1 |
— |
4 |
~ 2 |
|
(2, 0, |
0); |
.(1, 0,1).; (1, 0, 0). |
|