Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

§ ±5j ■ ,

ТЕОРЕМЫ p РАНГЙ

Щ

6. Матрица

Тп_х ( = Я п_1) теплицева и ганкелева одновремен­

матрицы Тп_р.

и

I

последних

столбцов,

а)

к + г первых столбцов

I

первых строк, и г +

к. последних строк;

столбцов,

б)

к первых столбцов

и

г -f-

I

последних

этом случае, по определению, k = I = 0, а

= Пр_х =

= D T-x(=f= 0) есть искомый минор порядка

г ( - ) - 0 + 0 )

(его можно заменить минорами, взятыми по

правилам а)

или б) из формулировки леммы,

в силу предложения 2°

из § 14, если г

0). Заметим, что при р = г =

0 (тогда

и к = I = 0) утверждение леммы

теряет смысл.

В этом

§ 151

ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ

133

С0 . . .

с-П+1

■■■с-п+1

.

■■■С-п+1

М & = .

д<ш) .......................

сп-к ■■■■

*

. . . .

■■■■сп-к

. . . С0

(в случае г — О клетка Д(гш) здесь отсутствует). Восполь­

мы можем

рассматривать

не как

минор матрицы

Тп-1г а как составленный (см.

теорему 13.2) для матрицы

Тп_! — особого

продолжения

матрицы Тт (ранга г) —

определитель

(|, ц) (см.

лемму

3.1

в форме (3.7)),

в котором

числа £ = сп_к и ц = с_п+(

заняли места эле­

=

М& (сп_,, с_п+;)

=

=

( - l)'l'!+r('i+,)A(“) (cn- k - V * )* (c-n-н - c V O ', (15.3)

откуда в силу (14.3)

Ф 0.

Г -{- k -f- I — 7Z

(15. 4)

134

ТЕПЛИЦЕВЫ

МАТРИЦЫ

И ФОРМЫ

£гл. ш

в рассматриваемых условиях (г <; р) невозможно^

В

са­

мом деле, в противном случае мы имели бы

т. е. р =

п = г.

= В ,,-! ф о,

когда г + к +

I >

п,

Остается рассмотреть случай,

который,

как увидим,

тоже оказывается невозможным

тате

матрица 7,n_1_(r+Jf+,_n) =

Тй-г

будет

иметь порядок

п =

2п — г — к — I

2п — г — 2 max {к, 1}

2 !п

max {к,

Z}] — г > г **),

(15.5)

так что в ее (г, к, ^-характеристике

г = г , к =

к — ( г + к + 1 — п) =

п — г — 1 л

Г = 1 - { г + к + 1 - п )

=

п - г - к ,

}

(15'6)

причем (см.

(14.4)) к )>

О,

I )> 0,

т. е.

ранг р матрицы

Гй- 1

превосходит 7-(==

г)

(см. п.

14.1). Но из (15.6) еле-

дует

г ~ \ - к - \ - 1 = г + (п — г — 1 )-\ -(п — г — к) =

= 2п — г — к — I = п,

что, как известно (ср.

с (15.4)),

при г < р невозможно.

Лемма 15.1 доказана.

15.2.

Некоторые факты, обнаруженные в ходе доказа­

тельства леммы 15.1,

позволяют

установить два предло­

жения, которые окажутся полезными в дальнейшем.

Рассмотрим величины

С- п+Р

с-п+р+1 •• С-п+1

Е - 1 = 1) Ер- 1 — с-п+р+ 1

с-п+р

• С-п+2

(Р = 1 ,2,.

., п)

*)

Заметим, что

в

силу (14.4)

г + А + Z — re ^ га — 2.

**)

В

последнем

из неравенств

(15.5)

использован очевидный

(см. схему

(15.1)) факт:

га — max {А, 1} ^

г.

§ 15]

ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ

135

или, в обозначениях § 1,

Ep-i =

Tn-i(n_ p + l п _ р + 2 ... п)

(р =

1, 2,...,п ).

Таким образом,

через (1 = ) Е_х, Е 0,

Ev . . .,

Еп-Х обоз­

начены

аналоги

последовательных

главных миноров

Er+i-1 4= О?

Ер-j = 0

(р — г +

I -]- 1,. •-, п).

В самом деле, минор Ег+1- г в силу своего

определения

получается из

найденного

в лемме

15.1

минора Мj£],

этой леммы (т. е. при со = —п +

21

г), а затем отбро­

сить у него первые

к столбцов и последние к строк:

с0 . .

. . .

С-П+1

■ ■ ■

C-n+l

•

•

. . .

• •

с-п+г

• • •

•

A<“ >

*

•

*

сп-к

•

. . .

•

• -

сп-к

.

С0

са>-1

•

• • c-n+i+i

С-71+1

•

• •

С-п+1

■'Ш-1

-п + 1

Er+1-i —

‘'co-r+l

°-n+;+i

см+г-1

• •

c-n-W+r

со = — п -j- 2£ г,

с-п+21+г

С- п+ 2/+1

136

ТЕПЛИЦЕ ВЫ

МАТРИЦЫ

И

ФОРМЫ

ГЛ.

III

Таким образом, Ег+1-х имеет в точности

тот же вид, что

и М^З при к =

0. Но это означает, что

вычислить Ег+Н1

можно по тому же правилу *) (15.3), что и М

ЕтН. х =

( -

1)гг Д'-п+2!+г) (с_п+г -

с1п+!)г ф 0.

Остается

объяснить, почему Ер_х =

0 при р )> г +

I.

В этом случае

структура определителя

Ер-Х такова:

р—(г+0

r

I

С-П+р

■ • •

с-п+( •

• С-П+1

I

• . .

• е-п+(

•

.

•

.

Ep-i

Г

са

Р-(г+1)

с-п+2р-1 '

• Сс

с-п+р

где со = — п +

21 +

г, а с =

— и +

p +

r + Z.

При г =

р,

где р — ранг

матрицы Тп-.х (в этом случае

к =

I =

0),

порядок р

минора Ер_х больше

р (р >

г +

i =

р +

4

т. е. Ер_х = 0.

Если

же

г < р ,

то,

как

выяснилось

при доказательстве леммы 15.1, г + к + I < ц .

Поэтому

(напомним

еще, что р ^ п)

числение Ер-Хв соответствии с леммой

3.1, т. е. по фор­

муле,

аналогичной (15.3),

дает Ер_х = 0.

* )

П р и г = 1 = 0 и м е е м ,

п о о п р е д е л е н и ю ,

Е г+1_ г = Е-\ = 1 .

Е с л и ж е г = 0 ,

а / > 0 , т о , к а к в и д н о и з о п р е д е л е н и я ( 1 4 . 1 ) и с о о т ­

н о ш е н и й

( 1 4 . 3 ) ,

и м е е м

с_п+р = е_[п + р = 0

(р < I), а с _ п + , ф

Ф с_п+1 =

0 , т а к ч т о и в э т о м с л у ч а е