Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

§151

ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ

13?

/ п — ( / - 1 - 1

п

<7 + 2 . .

. п \

'— Z V

А

1

2

. .

J

° n - q

cn - g - l

'

*

•

Сп-29+1

cn -q + i

Gn - q

*

*

*

Cn - 2Q+2

( 3 =

• , п ) .

Сп -1 Сп - 2

‘ * * cn - q

Ясно, что для этих миноров имеет место аналог предло­

жения 1°, а именно *):

2°.

У тпеплщевой

матрицы Tv

с характеристикой

(г, к,

I)

всегда

1 О, Fq-i = 0 (q = г + к + 1, . .

п).

15.3.

Заметим прежде всего,

что лемма 15.1 формули­

Т е о р е м а

15.1 ( о с н о в н а я

т е о р е м а

о

р а н г е ) .

Если

Тп_г — теплицева матрица с известной

(г, к, I)-характеристикой,

то ее ранг р находится по фор­

муле

р =

г + к +

(15.7)

I .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При

г =

р

формула

(15.7)

тривиальна, так как в этом случае к =

I =

0.

Пусть г <

р,

т. е. к +

I

0. Очевидно,

без ограниче­

ния общности,

можно принять к ^

I. В силу (14.3)

все

матрицы

Tv_

=

1C p -Jt.V o

при

v

=

г,

г -f- 1, ...,

п —к

имеют ранг

г, а [матрица

Тп-к имеет

ранг гг

г.

На

138

ТЕПЛИЦЕВЫ

МАТРИЦЫ

И

ФОРМЫ

[ГЛ. I l l

основании

следствия

из леммы

6.1

гх равняется

либо

г + 1, либо

г + 2.

у матрицы Tn4i, харак­

Если к = I, то по лемме 15.1

рядка

г +

1 +

1 = г +

2,

отличный от

нуля,

т.

е.

г, = г +

2.

По тем же соображениям (ср. § 14, предложе­

ние 1°)

иа

следующем шаге продолжения

матрицы Тп_к

с помощью

элементов сп_я.+1 (=

c„_m ) и с_п+,_: (=

с_п+я._х)

(мы снова допускаем здесь уже

оговоренную

в главе II

вольность

речи)

ранг

снова

повысится

на

две

едини­

цы и т. д. В результате после к (= I) шагов продолжения

мы обнаружим, что р =

г-\-2к = г-\-к-\-1.

гг =

г +

1,

Если

же к

I *), то (ранг матрицы Тп-к)

ибо все

строки

матрицы Тп-к, кроме последней,

выра­

жаются

линейно

через

первые

г ее строк (не содержат

рицы

Tn_fc имеет вид (г, 1,0).

Если к =

I + 1,

то у мат­

рицы

Тп-к+1 характеристика

(см. § 14, предложение 1°)

будет уже (г, 2,

1) а ранг превысит rx (= г +

1) на две

единицы (не более — в силу

следствия

из леммы

6.1,

и

не

менее — в

силу

леммы

15.1). В случае

же,

если

к

Z + 1, все

строки

матрицы Тп_кАг1,

за исключением

двух последних, выражаются

линейно через г первых ее

строк,

т. е.

ранг матрицы Тп- к+1 не превышает г + 2 =

= rx +

1.

В то же время характеристика матрицы Тп-к+1

имеет

в этом случае вид (г,

2, 0), т. е. с учетом

леммы

15.1 ранг этой матрицы равен

в точности г + 2 =

rx + 1.

§ 15]

i '

ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ

139

15.4.

Рассмотрим теперь

некоторые

следствия

из ос­

новной теоремы о ранге.

Если в (г, к, I)-характеристике

Т е о р е м а

15.2 *).

тпеплицевой матрицы Tn-i ранга р составляющая г <; р,

то любое продолжение

Тп матрицы Тп-х с помощью про­

извольной пары элементов (сп, сф)

имеет ранг

рх

р.

При этом, если Ы

0,

то Pi

=

р +

2;

если же к — О,

I

О (соответственно к

О, I — 0),

то (в обозначениях

§

14)

при

сп ф Сп

(соответственно

с_„ Ф cln)

также

Рх =

р + 2, а при сп

с!п(соответственно c_n =

cln) рх ■-=

=

р + 1.

Из условия г < р

(к -)-

I ^>

Д о к а з а т е л ь с т в о .

0)

следует, что

матрица Тп-г особенная, т. е. ее ранг

р не выше

п — 1:

р

га — 1.

Поэтому,

если

Тп — не­

особенная матрица, т. е. ее ранг рх =

га +

1, то в силу след­

ствия из леммы 6.1 р =

га — 1, а рх =

р +

2. Заметим,

что

при этом либо Ы

0,

либо Ы =

0.

В последнем случае

пусть, например, к .=

0,

I

0. Тогда обязательно сп ф

с'п-

В

самом деле,

при

сп = с„

матрица

Тп

имела

бы

(га +

1) — (I +

1) =

га — I О

р — I = г)

строк,

не

со­

держащих «испорченных» элементов, т. е. строк, принад­

лежащих матрице

Тп ранга

г,

а потому линейно зависи­

мых. Но тогда

det Тп =

0 вопреки предположению.

Пусть теперь Тп — особенная матрица,

а ее характе­

ристика имеет вид {г, к,

I). Тогда при Ы

0

г = г,

к = к + 1,

I — I + 1, .

Если же к — 0, I >

0, то при сп =j= с£ имеем

т=

т,

к =

1,

Z = Z —{—1,

т. е. Рх — г +

I +

2 =

р +

2,

а при сп = с'п

т = г,

/с = 0,

I = I -)- 1,

т. е. Рх = г +

Z+ 1 = р + 1.