Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 179
Скачиваний: 0
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 183
Выпишем теперь равенства системы (18.16), отвечаю щие значениям индекса р — т, т + 1, . . п — 1 (при которых, следовательно, 6Р0 = 0), умножив каждое из них на ар+1:
П
Ор+1 |
2 Cp-gXq = |
0 |
(Р = |
т, т + 1, .. . , п — 1). |
|
9 = 0 |
|
|
|
Сложив все эти равенства, получим |
||||
п— 1 |
п |
п |
п— 1 |
|
0 = 2 а р+1 2 Cp-Q^Q “ 2 ( 2 ® p + l c p - q j x q = |
||||
р=т |
5 = 0 |
i? = 0 'р=тп |
' |
|
|
|
|
п—1 |
|
- 3 ( 2 |
- |
— |
2 |
”Ь 3-п 2 ®рСр—n—1. |
9 = 0 'p = m + i |
|
9 = 0 |
р=1гЦ-1 |
|
Поясним, что в самом последнем из тождественных пре образований использованы (при q = 0, 1, . . ., п — 1) соотношения (18.19) (при q = п ими^пользоваться здесь нельзя было из-за сдвига индекса на единицу, и потому соответствующее слагаемое выписано отдельно). Заметим теперь, что в силу соотношения (см. (18.16))
П
2 |
= Sm-i, о = 0 |
9 = 0 |
|
(напомним, что т )> 2) полученное выше равенство пере писывается в виде
Cm—n—1 %п—Г |
^ Q'pCp-n—1 ” 0, |
|
р=т-)-1 |
и поскольку хп Ф 0, окончательно получаем
п
Cm^n-l= 2 |
• |
(18.20) |
р=т+1
Из равенств (18.19) и (18.20) находим П—1
O m - q - l — 2 ®P+1CP-<Z |
( } — 0 , 1 , . . 71) , |
р=тп
181 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
|
т. |
е. |
?l—1 |
|
|
|
|
|
|
Гт-1 = |
ар+11 р , |
|
р=т
что противоречит допущению относительно (минималь ности) числа т. Стало быть, матрица Т п обратима.
Для вывода формулы (18.18) воспользуемся теоремой 18.1, применив ее к возмущению
|
|
|
Т п (е) = Т п — еЕ |
|
|
||
матрицы |
Т п , где е — вещественный параметр. Элементы |
||||||
теплицевой |
матрицы |
Т п (е) |
обозначим |
ср (е) (р = О, |
|||
+ |
1, . . ., |
+ |
/г). Выберем б )> |
О так, чтобы |
при 0 < |
е <; |
|
< |
б выполнялись условия |
|
|
|
|||
| |
Т п (в) [ |
- |
det т п (е) Ф |
0, |
|Т п ^ (е) |= |
clet Т п . г |
(е) = |
-det|!cp.? ( e ) K =0^ 0 . (18.21)
Такой выбор возможен, так как у многочленов |
|Т п (е) |
| |
|||||||
и |Т п - Х (е) |
| имеется |
лишь |
конечное |
число |
корней |
||||
(ср. п. 1.2). |
Условия |
(18.21) |
гарантируют при любом |
е |
|||||
(О < е < |
б) |
разрешимость систем |
|
|
|
|
|
||
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(®) З-q(®) ~ |
(р = |
0, |
1, . . м ?l), |
|
|
||
4=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
c<i~p(®) г(®) ~ ^ро |
(р = |
о, |
1 , . |
. к) |
|
|
||
сг=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и выполнение условия |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
*0 («о = Уо(6) ( = |
|
Ф 0. |
|
(18.22) |
|||
т. е. применимость теоремы 18.1. (Обращаем внимание на то, что вторая из выписанных линейных систем отличает ся от своего «образца» (18.2) только обратным порядком следования входящих в нее уравнений.)
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 185
Согласно теореме 18.2 (см. ее доказательство) элементы
b j k (е) |
матрицы |
|
|
|
(0 < |
е < |
б) |
определяются равенствами |
|
|
|
|
m in (j, к) |
|
|
bik(е) = |
2 (*У-* (в) Ув-к (е) — !/-«+.,-s -i (е) aw *+ i (е)) |
||
|
(/, |
к = |
0, 1, . . ., п), |
в которых принято
*п+1 (е) = у-п- 1 (е) = 0.
Однако здесь нам удобнее переписать эти равенства в не сколько иной форме:
bjk(в) =
|
m in (А-, j ) |
|
m in (к, i) |
|
= х ■(в) |
2 |
x i - r {&) Уг-к {&) |
2 |
У)-п-г (е) £n-fc+r (e)J |
(Л * = 0 , 1 ( 1 8 . 2 3 )
где в случае А = j = 0 вторая из стоящих в квадратных скобках сумм считается равпой нулю. В частности, из (18.23) вытекает, что
*oi (е) = ?/-i (е) |
(18.24) |
и
*7-1 = Н (в) J/-i (в) + z;-i (в) ?/о (е) — ?/>_„_! (е) ®п (в)]
(7 = 1 ,2 ........ |
л). (18.25) |
Внеся (18.24) в (18.25), сделаем замену индексов, и, учи тывая (18.22), получим
*п+1-7, 1 (е) =
1
=[ar-n+i-j (е) *01 (В) + .Tn_j (е) х0(е) — хп(в) г/_3 (е)]
(/' = 1, 2, . . ., л).
186 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
Следовательно,
У-i (в) =
=[Жп+1-i (е) ь01 (Б) + (е) х0 (е) — ж0 (е) Ьп+1-з. ^е)]
|
|
|
(/ = 1 ,2 , . .. , я). |
|
(18.26) |
Поясним, |
что уменьшив (в случае надобности) |
6 |
Q> 0), |
||
можно считать хп (&) =f= 0 (0 < |
е <; 6), так как |
хп (0) = |
|||
= |
хп =f= 0 |
по условию теоремы, |
а функции Xj (е), |
у_j (е) |
|
(/' |
= 0, 1, |
. . п) в окрестности нуля зависят от е непре |
|||
рывно. Из (18.22) |
ясно, что и функции bjh (е) непрерывны |
|||||
в окрестности точки е = |
0, a bjh (0) ( = |
bjh) суть элемен |
||||
ты матрицы Тй1 (/, к = |
0, 1, ..., п). |
|
остаются |
|||
Заметим, что в силу |
(18.22) |
формулы (18.26) |
||||
справедливыми и |
при |
/ |
= 0, |
если |
только |
положить |
£>n+i,i (е) ( = жп+1 |
(е)) == |
0, |
что |
мы и |
сделаем. |
Восполь |
зуемся формулами (18.22), внеся даваемое ими выраже
ние для у_j (/ |
= 0, |
1, . . ., п) |
в (18.23): |
|
min (fc, 3) |
|
|
|
|
bjk = Ха ф | |
2 |
xi'r ( е ) ~^п ( i y |
l^ n + i+ r -(iбc) |
Ь01 ( е ) + |
min (Jc, Ц |
|
+ Zn+r-jt (е) х„ (е) — х0 |
(г) Ъп+1+т-к, i (б)] — |
|
|
|
|
|
|
— 2 |
(б) - ^ у - [®х+у-г (е) Ьо1 (б) + Xj-r (Б) я0 (е) — |
|||
|
|
|
— ха(е) й,-_г+1 , 1 (б)]} |
(/, fc = 0, 1,..., л), |
|
|
|
|
|
О |
|
где, |
напомним, |
всюду считается 2 |
= 0- Это соглашение |
||
нам |
удобно |
|
Г = 1 |
дальнейшем вообще |
|
расширить, полагая |
в |
||||
Р |
|
|
|
|
|
2 = |
0 при |
а |
р. Преобразуя |
полученное выражение |
|
а |
|
|
|
|
1 |
с учетом принятого соглашения, находим |
|||||
Цк(Б) = |
[xj (е) хп_* (е) + |
|
|
||
min (it, 7) |
|
min (к, j) |
|
||
+ |
2 Хп-к+г ( б ) frj-r+1, 1 ( e ) — 2 |
|
®У -г (б) b n w -fc + i1, ( в ) - | - |
||
г = 1 |
г=0 |
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 187
|
|
min (ft, з) |
|
|
|
+ |
гсо (в) |
2 |
Xj-r (&) ^71+1+r-ft (б) ^01 (е) — |
||
|
|
г = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
min (ft, з) |
|
|
|
яо (в) |
2 |
Zn-k+r (Б) Zi+3-r (б) Ь01 (е)1 = |
|
|
|
|
|
г=1 |
|
*п(е) ■|х,- (в) х„.к(е) + |
|
|
|
||
min (ft, j')—i |
|
|
|
|
|
“1 |
2 [*En—k+r+l (б) Ь;-г,1 (б) |
£j-r (б) Ьп-к+г+1 ,1 (&)] — |
|||
г=0
^3-min (ft, j) (б) bn+min(ft, j)-fc+i, l (б) +
1
+x0 (в) a'l_mln №. 3) (e) ^ii+min (ft, fl-fc+i (&) boi (8)}
|
|
|
|
|
|
(/, ft = 0, |
1, . . .,n). |
|
Заметим теперь, что при / |
> |
ft два последних слагаемых |
||||||
в фигурных скобках исчезают (ибо, |
в силу соглашений, |
|||||||
^п+1,1 (е) = |
0 и хп+1 (е) = 0), а при / |
<[ к эти же слагаемые |
||||||
дают в сумме |
|
|
|
|
|
|
||
|
£n+i-ft+i (е) й01 (е) |
х0 (е) i n+J-_A+ljl(e). |
|
|||||
Учитывая |
же, что |
|
|
|
|
|
|
|
min (к, /) — !== |
min (/, к — 1) |
при к s^I /, |
||||||
min (/, А: — 1) — 1 при к О /, |
||||||||
|
|
|||||||
мы можем |
окончательно |
переписать |
выражение для |
|||||
bjh (б) в виде |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
min (з, ft—1 ) |
|
|
|||
b;k (е) = |
Ц (Б)Zn-ft (Б) + |
|
2 |
[®n-fc+m (е) bj-r,1 (б) — |
||||
®э-г (®) ^n-ft+r+i,i (б)]| |
|
(/, ft = |
0, |
1 , . . . , п ) . |
(18.27) |
|||
Как уже отмечалось, xj (0) = xj (/ = 0, 1, ..., п). Заметим теперь, что благодаря специфическому виду правых частей уравнений системы (18.17) ее решение {z0, . . ., zn} совпадает со вторым столбцом(т. е. столбцом