Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 180
Скачиваний: 0
188 |
|
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
МАТРИЦ |
ГГЛ. IV |
|||
номером |
к = 1) |
матрицы II bJh К*«о |
|
|
|||
со |
•• |
c-j+i |
0 |
|
с-« |
|
|
С1 •• c-m |
1 c-i |
• ' * * -П т -1 |
|
|
|||
с« |
•• |
С-}+П+1 |
0 с— |
1 ... |
с, |
= Ъц =■ Ьп (0) |
|
|
|
|
!7n I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/ г= о, 1 , . . п). |
||
|
|
|
|
|
|
||
Полагая в (18.27) е = 0, получим (считая zn+1 = bn+1 = |
0) |
||||||
|
1 |
|
ш;п(У, /i-l) |
|
|
|
|
b# = |
XjXn-k ~t" |
|
(^u-Jr+r+iZj-r |
^j-rZji-A'+r+i) |
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/, |
/с = 0, 1, . . |
»). |
Но эти равенства эквивалентны формуле (18.18). |
|
||||||
Теорема |
доказана. |
как теорема |
18.1 позволила сде |
||||
18.6. |
|
Подобно тому, |
|||||
лать заключение (см. п. 18.3), что в условиях этой теоремы обратима не только матрица Тп, но и усеченная матрица Тп-Х, теорема 18.3 позволяет сделать аналогичный вывод относительно теплицевой матрицы (порядка п)
|
С-п+2 |
грО , 71 |
с-п + з |
*7 1 -1
’•П-1 с1
получающейся из Тп отбрасывапием первой строки (т. е. строки с номером 0) и последнего столбца (с номером п). В самом деле, разрешимость систем уравнений (18.16) и (18.17) вместе с условием хп Ф 0, очевидно, эквивалентна соотношениям
det Тп 0 и det Тп~у Ф 0.
По аналогии с теоремой 18.2 и здесь можно высказать
более полное утверждение относительно матрицы (Гп-")-1: Т е о р е м а 18.4 (Г о х б е р г а и К р у п н и к а ) .
Если существуют решения {xQ, ау, . . ., хп} и (z0, zlt . . ., zn} систем (18.16) и (18.17) соответственно и выполнено
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ II ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ |
1S9 |
|||||||||||
условие |
хп |
0, |
то теплицева |
матрица |
Т?^ |
обратима |
||||||
и обратная к ней матрица строится по формуле |
|
|||||||||||
|
|
го |
0 |
. . . 0 |
Xп Жп-1 . . . Х1 |
|
|
|||||
/'TiO, тх\ X |
|
1 |
2i |
х |
. . . |
о |
0 |
Xп |
•. . -Т2 |
|
|
|
— |
~0 |
|
|
|||||||||
И n -l; |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
Хп |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
тП |
|
|
|
|
|
. |
zn-\ |
г?1-2 |
■•■ 2о |
■* |
|
|
||||
|
|
|
|
•т о |
0 |
|
0 |
Zп |
zn-\ •* • Z1 |
|
|
|
|
|
|
— |
X,J. |
*0 |
' •• 0 |
0 |
"и |
* *■ 22 |
. (18.2S) |
||
|
|
|
|
жп-1 |
хп-2 ■■■ •г’о |
0 |
0 |
. . . 2п |
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Образуем |
квадратную |
не |
|||||||||
особенную |
матрицу порядка п + |
1: |
|
|
|
|
||||||
*0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
||
•Г1 |
|||
|
|
||
|
• . |
||
|
о |
о |
|
Хп |
0 |
0 |
|
|
|
||
0
. . . 0
1
. . . 0
(det М = хп =f=0).
Легко видеть, что в силу равенств (18.16)
1 |
с0 с - 1 ■■■ с-п+ 1 |
0 |
|
ТпМ = |
/710,11 |
|
71-1 |
0 |
|
Следовательно, по правилам обращения блочных «квазитреугольных» матриц (см. [41, стр. 59)
1 |
* * . . . |
* |
0 |
|
(18.29) |
М^Т~1 |
1 грО , П \ - 1 |
О
190 |
преобразования матриц |
[гл. IV |
где, как всегда, звездочками обозначены элементы, не иг рающие в дальнейшем существенной роли. Равенство (18.29) будет использовано для вывода формулы (18.28).
Согласно теореме 18.3 матрицу Тй1 можно предста вить в виде
T~l = ± - ( K + R - S ) ,
(где (см. (18.8)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К = |
I XjXn-h||j,k=0i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
20 0 |
|
. 0 |
0 *п жп- 1 |
• • *1 |
||||||
R = |
г1 го |
• |
. |
0 |
0 0 |
|
X |
|
• |
*s |
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
||||
|
zn Zn- 1 |
■ • го 0 0 0 |
|
. 0 |
|||||||
|
х о 0 |
|
. 0 |
0 гп гп- 1 |
•. . |
|
|||||
S = |
Х1 |
х 0 . . . |
0 |
0 0 |
гп |
|
• • |
Z2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Хп *n -i ■■ ■ *0 |
0 0 0 |
|
. . 0 |
|||||||
Матрица М 1 имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
0 |
. . |
0 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
хп |
0 |
. . |
0 |
|
-* 0 |
(18.30) |
||
|
|
|
0 |
|
хп •• . |
0 |
|
-* 1 |
|||
|
|
|
0 |
|
0 |
. • |
хп |
|
-*п-1 |
|
|
что легко проверить, составив произведение М~гМ. Так же непосредственно проверяется, что у матрицы М~гК элементы всех строк, кроме первой, равны нулю. Наконец, легко убедиться, что разность R — S имеет вид
0
0 в
R — S = х-
0 0 . . . 0
где R — квадратная матрица порядка п, совпадающая с правой частью формулы (18.28).
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 191
Учитывая равенство (18.30) и указанные свойства эле ментов матриц М~ХК и R — S, получаем (применяя снова правила умножения блочных матриц)
М^Тп\ = ЛГ1 •— (Д - S) + ЛГ1 ■— К =
* |
* |
. . . |
* |
0
0 в
0
Сравнивая этот результат с (18.29), приходим к равенству
(rJfc-T1 = в,
т. е. к формуле (18.28). Теорема доказана.
18.7. Аналогия между теоремами 18.2 и 18.4 прости рается и дальше. А именно, мы можем последнюю теорему использовать (подобно тому, как в п. 18.4 использовали теорему 18.2) для обращения произвольной неособенной
теплицевой матрицы |
Тп = |
flcp_9||£,я=0 (I Тп | |
0). Для |
|
этого рассмотрим теплицеву |
матрицу (порядка |
п + 2) |
||
с-1 |
С-2 |
•■* |
с-п- 1 Р |
|
|
Its |
II |
со с-1 •■■ с-п |
с-п-1 |
сп СП-1 • • со |
с-1 |
где с-п-г — некоторое фиксированное комплексное число,
а т] — комплексный |
параметр. Функция det |
линейна |
по отношению к г| с |
коэффициентом |Тп |(=7^ 0) при р и |
|
потому обращается в нуль только при одном значении р.
Для всех прочих значений р матрица Тя удовлетворяет всем условиям теоремы 18.4, так как она сама обратима,
а роль матрицы Г®!” из теоремы 18.4 здесь играет также неособенная матрица Тп. Следовательно, матрицу Тп можно теперь обратить с помощью формулы (18.28).