Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 181
Скачиваний: 0
192 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
18.8.Сопоставление теорем 18.1 п 18.3 показывает, что
вкаждой из них для неособенной теплицевой матрицы
Тп = I Ср-q Цо,(j=0 обратная |
матрица |
Тп |
определяется ре- |
||||
шениями |
.т1( • • ■> |
хп}> |
{ z 0> zl> |
• • ., |
zn} систем вида |
||
п |
п |
|
|
|
|
|
|
2 Cp-tjXq = |
2 |
Cp-q^t7 = |
5pv |
|
|
|
|
?=0 |
ч=о |
(р = |
0, 1, . . ., n; |
(.i=jbv) |
(18.31) |
||
|
|
||||||
(в теореме 18.1 при ц = 0, v |
= п, в теореме 18.3 при ц = |
||||||
= 0, v = |
1). Однако и в той и в другой теореме на эти ре |
||||||
шения приходилось налагать некоторое дополнительное условие (т0 =/= 0 в теореме 18.1, хп =j= 0 в теореме 18.2 — ср. упражнения 3 — 6, 11 в конце параграфа).
Возникает естественный вопрос, нельзя ли для всякой
неособенной |
теплицевой |
матрицы |
Тп — ||с,,_9||р,ч=0 подо |
|||
брать индексы |
ц и v (0 |
ц < v |
п) (свои для каждой |
|||
матрицы) так, |
чтобы решения систем (18.31) |
однозначно |
||||
определяли |
обратную |
матрицу |
Тй1 |
б е з |
в с я к и х |
|
д о п о л н и т е л ь н ы х |
у с л о в и й . |
Положительный |
||||
ответ на этот вопрос означал бы, что и сама матрица Тп,
т. е. все ее элементы ср (р = |
О, -Ь 1, . . ., + |
п) однозначно |
|||||
определяются равенствами (18.31). Однако |
уже простой |
||||||
пример показывает, что это не всегда имеет место. |
|||||||
П р и м е р [16]. |
Пусть |
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
1 1 |
|
|
|
|
Т3 - |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
(18.32) |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
’ |
|||
|
|
||||||
|
1 1 0 |
0 |
|
|
|||
Положив, скажем, |
ц = |
0, v |
= |
3 (в соответствии с теоре |
|||
мой 18.1), убеждаемся, что системы (18.31) имеют в данном случае вид
|
хг+ хз = 1, |
гг + гз= |
0, |
|
|
х3 — 0, |
|
гз = |
0, |
хо |
= 0, |
го |
= |
0, |
го -Ь xi |
= 0; |
го + zi |
= 1 , |
|
т. е. хд = хг х3 = 0, ,г2 = 1, z0 = г2 = z3 = 0, zx = 1.
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕШШЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 193
Если использовать теперь найденные решения в каче стве коэффициентов, то те же системы уравнений (18.31)
неизвестных ср, виде
2 = ^ ’
1 = °.
=0,
=0;
С_!
оV)
ftи С2
= 0,
II о* II о
=1,
т. е. таким путем определились н е в с е элементы мат рицы Т3, а именно: с_3 и с3 остались произвольными. Этим, в частности, продемонстрирована существенность нару шенного здесь условия х0 =j= 0 теоремы 18.1.
Читателю предлагается проверить, что и при любом другом выборе р a v ( 0 ^ [ i < v ^ 3 ) мы обнаружим по добное же явление: матрица Т3 в (18.32) не восстанавли вается из соответствующей системы (18.31) *).
18.9. В теореме 18.1 по первому и последнему столб
цам матрицы, |
о б р а т н о й к данной теплицевой мат |
||||
рице Тп, восстанавливалась вся |
о б р а т н а я матрица |
||||
Тй1- Можно поставить |
задачу восстановления по тем же |
||||
данным |
и с х о д н о й |
матрицы |
Тп. |
Здесь имеет место |
|
следующий результат |
[17]. |
|
хп и у_„, у_п+1, .. . |
||
Т е о р е м а |
18.5. Пусть х 0, хх, |
||||
уо |
— заданные системы комплексных чисел и х0 =£= 0. |
||||
Для существования теплицевой матрицы Тп = |cp_g ||£,q=o
такой, что |
П |
71 |
|
2 Cp-q£q = бро, |
2 ^р-qj/q-ii = брп {р =—0, 1, . . ., n'j, (18.33) |
q=0 |
5=0 |
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
________________ х0 = у0 (18.34)
*) Недавно А. Л. Сахновичу [37а] удалось построить метод обращения теплпцевых матриц по решениям систем уравнений типа
'(18.31), но с несколько иными правыми частями. При этом на реше ния уже не нужно налагать никаких дополнительных условий. Лю бопытно, что в данном случае имел место обратный ход идей по срав нению с упомянутым в начале предисловия к этой книге: свой ре зультат для матриц А. Л. Сахнович получил по аналогии с соответ ствующими результатами Л. А. Сахновича [37б, 37в] для интеграль ных уравнений.
7 И. С. Иохвидсщ
194 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
и чтобы матрица
Уо У-х |
to |
2/_n+i |
0 Уо |
1 |
|
У-х . . V-n+г |
||
У-п |
0 .. 0 |
0 |
У-п+1 |
У-п ■•. 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
. . Уо |
У-х |
у- 2 |
•У-п+Х У-п |
|
Р = |
|
|
|
|
0 |
.. . 0 |
0 |
Xп ■г'п-1 ХП-2 ■■ Хх |
х о |
||||||
0 |
|
xn -i • ■ •Г2 |
х х |
х о •• . 0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
.. . •гп |
Хп -1 |
ХП-2 •' •*i |
жо |
|
была неособенной. |
При выполнении этих условий матрица |
||||||
Тп является неособенной и однозначно восстанавливается по формуле (18.3).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость условия (18.34) установлена в теореме 18.1. Покажем, что матрица Р неособенная. С этой целью разобьем ее на четыре квадрат ных блока:
|
|
|
|
II У |
U |
|
|
|
где |
|
|
Р = |
I V |
X |
|
|
|
*0 |
0 |
. . 0 |
|
Уо У-х ■ • У-п+1 |
||||
|
|
|||||||
X = |
*1 |
х о |
•. . 0 |
Г |
0 |
Уо |
• • У-ПЬ2 |
|
|
|
, |
= |
|
|
|
||
|
Хп—х Хп - 2 ‘ ' • х о |
|
0 |
0 |
|
• Уо |
||
|
2/-п |
0 |
0 |
|
|
Xп Хп-Х ■ • *1 |
||
и = |
У—п+Х У-П. |
0 |
, |
V = |
0 |
Хп |
■ ■ *2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
У-Х |
У-2 |
••• У-п |
|
|
0 |
0 |
• *п |
В силу |
одного предложения |
из теории |
определителей |
|||||
(см. [4], |
стр. 59) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det Р = det X- det (Y - |
UX^V) |
|||||
(поскольку x0 Ф 0, |
матрица X обратима). Легко проверить, |
|||||||
что матрицы X и U перестановочны. |
Поэтому |
|||||||
|
|
det Р = det (XY - |
UV). |
|
||||
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 195
Отсюда видно, что Р — неособенная тогда и только тогда, когда неособенна XY — UV. А неособенность последней была установлена в теореме 18.2 (см. формулу (18.11)).
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
Равенства систем (18.33) мож |
||||||||||||||
но, сделав во второй из |
них замену |
индексов |
р = |
п + /, |
|||||||||||
q = п |
|
] — к, |
а |
в первой р = |
/, q = / |
— к, переписать |
|||||||||
в виде |
|
системы 2п + |
2 |
уравнений |
с |
2п + 1 |
неизве |
||||||||
стными С_п, С_п-ц, > > ., |
С—1 , Cq, Cj , |
. • *, |
|
Сп . |
|
||||||||||
|
j+n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Уз-кСц = |
6jo |
|
(/ = |
— п, — п + |
1, . . ., 0), |
|
|||||||
|
k=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> (18.35) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
xi-kck = |
6jo |
|
O' = |
0, 1, . . ., n). |
|
|
|
|
||||||
k=j—n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Матрица Q этой системы имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Уо У-1 |
у - 2 •• • У-1 1 + 1 У-П |
0 |
|
. . 0 |
|
0 |
0 |
||||||
|
|
0 |
Уо у -1 ■■ • У-п+2 У-1i + i У-П ■. . 0 |
|
0 |
0 |
|||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
■ Уо |
У-1 |
У- 2 |
• • • У-п+1 У- 1 г |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
Уо |
У-1 |
■* ■ У-п+ 2 2 /- П + 1 |
У-П |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
хп- 1 хп -г |
• • . |
|
х о |
0 |
|
. 0 |
|
0 |
0 |
|||
|
|
0 |
х п |
А г - 1 |
• • • * 2 |
x i |
х о |
■ . 0 |
|
0 |
0 |
||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
. . |
• * « |
Хп-1 хп -2 ■. . |
|
* 0 |
0 |
||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
. |
0 |
|
хп |
хп-1 ■ |
• х 2 |
* 1 |
г ’ о |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если |
в |
|
этой |
матрице |
отбросить отчеркнутую на схеме |
||||||||||
(п + |
1)-ю строку, то получится матрица с определителем, |
||||||||||||||
равным |
a;0det Р Ф 0 |
(вычисляется |
разложением |
по эле |
|||||||||||
ментам последнего столбца). Следовательно, ранг матрицы Q максимален ( = 2п -f- 1).
Присоединив к матрице Q столбец правых частей систе мы (18.35), полупим расширенную матрицу Q. Опре делитель этой матрицы Q вычислим, разложив его по эле ментам последнего столбца, состоящего из нулей и двух
7*
196 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
|
единиц в строках с номерами п + |
1 и п + 2. |
Получим |
||
det Q = |
(— l)n+1+2ll+2 Хо det Р + |
( - |
ljn+a+an+s^det Р = |
|
|
|
= (—1)” (2/о — х о) det Р. |
||
На основании (18.34) имеем det Q = 0, т. е. ранг матрицы
Q — тот же, что и у Q, и по теореме Кронекера — Капелли система (18.35) однозначно разрешима. Остальные ут
верждения теоремы |
18.5 относительно |
матрицы Тп — |
— II °р-д 1р. q=o следуют из теоремы 18.1 |
*). |
|
Ясно, что задачу, |
подобную решенной теоремой 18.5, |
|
можно ставить, отправляясь не от теоремы 18.1, а от ее аналога — теоремы 18.3. Теперь речь пойдет о восстанов
лении |
Гп по п е р в о м у |
и в т о р о м у |
столбцам об |
|||||
ратной матрицы Тп1- Здесь имеет место |
хп и z0, zx,... |
|||||||
Т е о р е м а |
18.6 |
[16]. |
Пусть х0, хх, . . ., |
|||||
. . ., |
zn — заданные |
системы |
комплексных |
чисел |
и хп =f= |
|||
Ф 0. |
Для |
существования |
теплицевой матрицы |
Тп = |
||||
— [[ ^р—$ Ijpt q~ o т а к о й , |
ч т о |
|
|
|
|
|||
п |
|
|
п |
|
|
|
|
|
2 |
= |
бра, |
2 ср-<72<= |
бР1 |
(р - 0, 1, •••, п), |
(18.36) |
||
9=0 |
|
|
9=0 |
|
|
|
|
|
необходимо |
и |
достаточно, |
чтобы выполнялось условие |
|||||
|
|
|
|
Zn |
= хп-1 |
|
(18.37) |
|
и чтобы матрица
х п *П-1 ■. . |
|
х о |
||
0 |
Хп |
■. . |
х2 |
Х1 |
0 |
0 |
• |
Хп |
хп-1 |
|
|
|||
гп |
zn- 1 |
* • |
г1 |
г о |
0 |
т |
' |
22 |
г |
|
п |
1 |
||
0
х о
'
^и 11>
0
го
0 |
0 |
0 |
0 |
*п-3 •■ |
XQ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
■ zn |
п-1 Zn-2 |
z |
zo |
|
|
11-3 ** |
|
*) К а к о т м е ч а е т с я в [ 1 7 ] , т е о р е м а 1 8 . 5 д л я с л у ч а я э р м и т о |
||
в о й |
т е п л и ц е в о й м а т р и ц ы |
в э к в и в а л е н т н о й ф о р м у л и р о в к е и и н ы м |
|
м е т о д о м б ы л а д о к а з а н а М . |
Г . К р е й н о м [ 3 4 ] . Б о л е е п о д р о б н о с в я з ь |
||
э т о г о к р у г а в о п р о с о в с о с т а т ь е й М . Г . К р е й н а [ 3 4 ] |
п р о с л е ж е н а в |
||
к п и г е И . Ц . Г о х б е р г а и И . А . Ф е л ь д м а н а [ 5 а ] ( г л . |
I I I , § 6 ) . |
||