Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 182
Скачиваний: 0
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 197
была неособенной. При выполнении этих условий матрица Тп обратима и однозначно восстанавливается по формуле
(18.18).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Н е о б х о д и м о с т ь ус ловия (18.37) следует из теоремы 18.3, в силу которой мат рица Тп — неособенная, а потому системы (18.36) одно значно разрешимы, и остается вычислить zn и хп-х по правилу Крамера.
Покажем необходимость условия det N =f=0. По тео реме 18.3 (формула (18.18))
T ? = -± -{B C -D F ),
хп
где
zo 0 |
. 0 |
|
|
Z1 zo |
•.. |
0 |
, |
|
|
|
|
zn Zn-1 ■ •zo |
|
||
|
|
*0 |
0 |
D = |
X1 |
*0 |
|
|
|
xn |
|
0 zn Zn-1 |
|
zi |
|
0 0 |
z« |
|
N |
• • |
|
to |
|
• |
|
• |
|
0 0 |
0 |
|
•zn |
0 0 |
0 |
|
. 0 |
0 |
Xn |
■ X1 |
C = 0 |
0 |
. • xn |
0 |
0 |
. . 0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
•••*0
ж*n-l ■.. X0
n
0 0 |
. 0 |
•• •
0 0 |
. 0 |
Так как BD = DB, то, применяя еще одно правило вы числения определителей блочных матриц ([4], стр. 59), имеем
(В F\
det ( D А = det (ВС — DF).
198 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ [ГЛ. IV
Но
( В F \
defcU с ) |
= |
|
|
|
|
|
|
го |
0 |
. 0 |
- * п |
zn - хп-1 2п -1 |
хп-% •••*1-*0 |
||
г1 |
-•70 |
. 0 |
0 |
0 |
*« |
•• |
гг |
2п-1 |
?1-2 * . 0 |
0 |
0 |
0 |
|
zn |
|
zn |
гп-1 • • го |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
Х0 |
0 |
. 0 |
0 |
*« |
*n-l |
|
*1 |
|
|
|
|
||||
x i |
Х0 |
■. . 0 |
0 |
0 |
Xп |
. |
Х2 |
|
*П-1 •■• *0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
Разлагая этот определитель по элементам (п + 2)-го столбца, а затем переставив первый столбец на последнее место, имеем
|
/ в |
F \ |
|
|
|
|
|
|
I d e t |
\ D |
с ) I = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ' ’ • . . 0 |
0 |
Zп |
. . Z2 2,1 |
|||
|
|
Zn - 1 * . . z 0 |
0 |
0 |
. . |
0 |
г „ |
|
|
|
0 |
. 0 |
Xп * п - ! • • • * 1 * 0 |
||||
|
|
X |
. 0 |
0 |
* п • |
• |
* 2 |
Х1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Хп ~ 1 ■ ■ * 0 |
0 |
0 |
■ 0 |
х п |
||
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
I |
det N |= |
|det (ВС - |
DF)\ = |
|
|
|det T ? |ф 0. |
||
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
Пусть det ‘N ={= 0 и zn = xn- x |
|||||||
Как и в доказательстве теоремы 18.5, |
рассмотрим равен- |
|||||||
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ |
199 |
|||||||||||||
ства (18.36) как систему 2п + |
2 уравнений с 2п + |
1 |
не- |
|||||||||||
известными |
с_71 |
c-n+l> . |
♦ |
C--1, |
c D> Cli |
* *1 |
и |
|
мат- |
|||||
рицей |
>) |
|
хп n-1, . . . |
|
*0 0 |
|
0 |
.: о |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
n |
••X2 |
|
xo |
|
0 |
. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
. . 0 |
Xn xn-i xn—2 ■ •xo |
|
|
|
|||||
|
|
G — |
V. |
|
|
zo 0 |
|
0 |
. 0 |
|
|
|
||
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n- 1 •••zi |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
zn |
••*2 Z1 zo |
|
0 |
. 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
. 0 |
|
Zn zn-l |
Zn-2 **•zo |
|
|
|
|||
Если |
в |
матрице G |
отбросить |
отчеркнутую |
(n + |
|
2)-ю |
|||||||
строку, |
то |
определитель |
оставшейся |
матрицы |
будет |
|||||||||
отличаться |
от det iY(=jf=U) |
лишь |
множителем xn. По- |
|||||||||||
этому ранг |
матрицы |
G максимален ( = |
2n + |
1). |
|
|
||||||||
Расширенная матрица G системы (18.36), получающаяся присоединением к G столбца правых частей , имеет вид
|
*П-1 |
*1 *0 0 |
0 |
. 0 1 |
|
|
||
0 |
хп |
a:1 |
xo |
0 |
. 0 0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 xn |
Xn-1 xn-2 ■‘ |
•*0 0 |
P |
|
||
G= |
|
Z1 zo 0 |
0 |
0 0 |
( |
Q ) |
||
zn zn-l |
- [ R |
|||||||
S J |
||||||||
0 |
Zn |
Z2 zl |
zo |
0 |
0 1 |
|
|
|
0 0 |
0 zn zn-i V -2 ■ zo 0 |
|
|
|||||
Так как PR == RP, to снова ([4], |
стр. |
59) |
|
|||||
|
|
det G = |
det (PS — RQ). |
|
|
|||
Но у матрицы PS — RQ, как легко подсчитать, учитывая (18.37), все элементы первой строки равны нулю, так что det 5 = 0.
*) Читатель, конечно, заметил, что по сравнению с системой (18.35) здесь (если говорить только о левых частях) изменились лишь порядок следования уравнений и обозначения части коэффициентов, что и отразилось в различии матриц G и Q.
200 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
МАТРИЦ |
[ГЛ. IY |
||
|
Итак, система (18.36) однозначно разрешима относи |
||||
тельно чисел ср (р = |
0, + 1, . . |
+ |
га). Составив из них |
||
тешгацеву матрицу |
Тп — |cp-q||р,5=0, |
видим, |
что по тео |
||
реме 18.3 она обратима и может быть восстановлена по формуле (18.18).
18.10. Переходя к задаче обращения ганкелевых мат
риц |
Нп = |Sj+h К я-=0 |
порядка |
п + 1, |
напомним, что |
после |
умножения такой |
матрицы |
справа |
на матрицу |
|
|
0 0 . . . |
0 1 |
|
0 |
0 . . . |
|
• |
|
|
О |
1 |
|
|
1 |
0 . . . |
1 |
0 |
|
. . |
|
|
О |
О |
0 |
0 |
(см. п. 17.1) также порядка га + 1, получим теплицеву матрицу
HnJ,71+1 |
-- |
аП -- ьр-<1 р. 3=о, |
|
||
|
— |
т |
= |
|
|
элементы которой схр |
связаны с элементами sk исходной |
||||
матрицы Нп формулами (ср. |
(17.3)) |
|
|||
Ср — sp+n |
(р — 0, |
r^ l, . . ., + га). |
(18.38) |
||
Заметим далее, что обратимость матрицы Нп эквива |
|||||
лентна обратимости Тп, |
и при этом (см. (17.8)) |
|
|||
(Ттп)-1 = |
(HnJn+1) - х = Jn+1Hn\ |
|
|||
или |
|
|
|
|
(18.39) |
Ж ? = |
Jn+^Tl)-1. |
||||
Таким образом, для ганкелевых матриц в качестве не посредственного следствия теоремы 18.1 получается
Т е о р е м а 18.7. |
Если |
ганкелева |
матрица Нп = |
|||
■—||Sj+k ID) я-=о такова, |
что каждая из систем уравнений |
|||||
П |
|
|
(р = |
0, |
1, |
. . ., га), |
2 |
Sp-q+n%q = бро |
|||||
q = 0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
Sp-q+nl/q-n — |
б р п |
(? = |
0, |
1, |
. . ., га) |
g = 0