Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Скачать файл (8,01Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 183

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 201

разрешима и выполнено условие х 0 =j= 0, то матрица Нп — неособенная, и обратная к ней строится по формуле

0 0 .

х0- 1

о О

•* 0 * 1

Уо У -1		У-п
0	Уо	У—71+1

	х о * 1	•	•	жп - 1		Хп	0
	х о * 1	•	•	жп - 1		Хп
0	0		.	0	0	0
0	0			О	о	1 А	71
0 0			•0 у_пУ _ п + 1
0 2 /_ 71 *		*	•У-з У-ги-1

0		Уо
		Уо
II 0	х п х п-1 .			.	.	£ 1
0	0	Xп .		.	.	Х2
: •		■
0	0	0	■	*	•	0
0	0	0	.	.	.	0
0

Д о к а з а т е л ь с т в о сводится к внесению выра

жений (18.38) для d (вместо ср) в системы (18.1) и (18.2) и умножению обеих частей формулы (18.3) (в соответ ствии с (18.39)) слева на матрицу / п+1 (т. е. — к переста новке в обратном порядке столбцов левых сомножителей каждого из двух произведений, стоящих в фигурных скоб ках формулы (18.3)).

Ясно, что можно было (см. п. 17.1) от матрицы Нп пе реходить не к Tl, а к теплицевой матрице

Тп — Jп+гНп = I С р -д ||р,7=о

с элементами (ср. (17.3))

Ср = s-p+n (р = 0, + 1, . . ., + п). (18.40)

Тогда мы пришли бы к теореме 18.7' («двойственной» теореме 18.7), которая получается из теоремы 18.1, если выражения (18.40) для сР внести в формулы (18.1) и (18.2) вместо ср соответственно и переставить в обратном порядке строки правых сомножителей в каждом из двух произ ведений, стоящих в фигурных скобках формулы (18.3) *).

*) Интересно, что перестановка в обратном порядке строк (столб цов), т. е. умножение матрицы слева (справа) на матрицу / п+1, ши

роко применяется для обращения иными методами самих тешгацевых и блочно-теплицевых матриц (см., например, уже упоминавшиеся в подстрочном примечании на стр. 171 работы [57], [39а]).

202

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ

[ГЛ. IV

Предлагаем читателю самостоятельно переформули ровать для ганкелевых матриц теоремы 18.2—18.4, при чем каждую — в двух вариантах, использующих форму лы HnJn+1 = Тп и Jn+1Hn — Тп соответственно *).

Примеры и упражнения

1.Для теплицевой матрицы

	0	1	—1	£
Г з =	£	о	1	—1
Г з =	0	£	0	1
	0	£	0	1
	о	о	£	0

выпишем системы (18.1) и (18.2):

			+i®3= 1,				У-ъ - У - у		+	£2/о =	°-
ixo		+ж2— ж3 = 0,				ixJ- з	+ 2 /_ !		—	2/0 =	° .
	ix1		+	*3 =	0,	*3/-г			+	У о =	°>
			ix3	=	0;		»</_!			=	1-
Их решения таковы:
		1				1					i
*0 — —		2	’				*2 =	° ,		жз =	"2~
			£			£					1
У-ъ =	1 +	~	-	У - г ~ ~		2 ’	У - Х =	— *,		Уо -------- 2“ ■
Условие	х о ф О		выполнено. Поэтому				(см. (18.3))

	—Va	0	0
2	Va	-V a	0
2	0	Va	-V a
	0	Va	-V a
	—£/a	0	Va
	0	0	0
1 + £/2		0	0
	i/2 1 -\|- i/2		0
	i	— i/2	+

-V a 0

to О

	—Va —£		—£/г 1 + £/а
	0	—Va —1		— »/а
	0	0	— Va	— £
	0	0	0	—i/a
0	—i/2	0	1/а
О	О	—£/2 0		_
0	0	0	—£/2 ' —
О	О	О	О

*) В самое последнее время (уже после опубликования статей [16, 17]) обнаружился еще один подход к теоремам 18.1 и 18.3 и соот ветствующим результатам для гаикелевых матриц. Этот подход, ос нованный на известном алгебраическом понятии безутианты двух многочленов (см. [7]), развит Ф. И. Ландером [36а].

§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 203

7l	i/2		74	-	72 -	74
- ’А -	72 + Vi		74		72 +	72
0	-7.1	-	72 +	Vi	74
74	- 1/*		-7 2	-	г +	72
	0		0		0	0
	0	-	72 + 74		0	7* +	74
	0		-7.1	- 72 + 74 -7 4
	0		- 7 г	-7 4		- £+ 7*
				- 7 2	—t	—72 1 + 7 2
				72	0 —72		—72
				0	0	0	—1
				—72	0	72	- 7 2

Проверка:					1 0 0 0
		i	—72	1 + 7 2	1 0 0 0
		0	—72	— 72	0 1 0 0
		0	0	—i	0 0 1 0
		0	72	- 7 2	0 0 0 1
2. Для матрицы примера	1	рассмотреть усеченную матрицу
	0 1		—1
Тг =	i	0	1
	0 i		о

и, пользуясь данными примера 1, построить по правилу (18.11) мат

рицу	Т ? .			1
		■i	—i	1
	Ответ. 7121	0	0	—г
		■1	0	—i
3.	Показать, что в теореме 18.1 условие х о ф О является сущест

венным — привести пример, когда системы (18.1) и (18.2) р а з р е

ш и м ы , но хо =	0 и матрица	Тп оказывается о с о б е н н о й .
У к а з а н и е .	Такие примеры возможны уже при п = 2, т. е.
для теплицевых матриц третьего		порядка.

4.Доказать, что при п < 2 нельзя построить пример, требуемый упражнением 3.

5.Условие хо ф 0 теоремы 18.1 существенно еще и в том смыс ле, что при его нарушении матрица Гп, хотя и может оказаться не

особенной, но обратная к ней матрица Г”1 не определяется реше ниями систем (18.1) и (18,2), Это уже было показано в конце и. 18,§

204	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ			МАТРИЦ	ЕГЛ. IV
(см. (18.32)) на примере матрицы
	0	0	1	1
	0	0	0	1
	1	0	0	0
	1	1	0	0
Построить другие	примеры такого		рода.
6. Убедиться,	что для неособенной теплицевой матрицы
		0°	i	\\

||1 ОI

хотя и хо— 0, тем не менее решения систем (18.1) и (18.2) вполне определяют эту (а стало быть, и обратную к ней) матрицу *).

7. Обратить матрицу Т3 примера 5 по методу, изложенному и. 18.4.

0 0 1 0

0 0 —1 1

Ответ. Тдг =

1 —1 0 0

0 1 0 0

8. Матрицу Тз примера 1 обратить по методу теоремы 18.3 (по формуле (18.18)).

9.Обратить по методу теоремы 18.4 матрицу

iо 1

7^0,3_	О	i	О
Х 2
	О	0	i

(порожденную матрицей Т3 упражнения 1).

— i 0 1

Ответ. (Г®-3)-1 = 1 0 — £ 0

0 0 —i

10.Матрицу Т3 примера 5 обратить по методу, изложенному

п. 18.7.

			Ответ. См. упраяшение 7.
И . Показать,	что условие i n ^ O		в теореме 18.3 существенно
(ср. упражнения	3 и	5).
*) Таким образом,		условие хо Ф 0 хотя и существенно, но н е
н е о б х о д и м о ,	причем не только		для обратимости теплицевой

матрицы Тп (это было видно уже из примера 5), но и для того, чтобы решения систем (18.1) и (18.2) определяли обратную матрицу.

§ 19]

ВЗАИМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

205

§ 19. Взаимные преобразования тешшцевых

иганкелевых форм

19.1.Результаты § 17 относительно взаимных преоб разований теплицевых и ганкелевых матриц наводят на мысль об их применении к преобразованиям соответ ствующих эрмитовых и квадратичных форм. Однако на этом пути нас сразу ожидает разочарование. Прежде всего заметим, что для произвольной эрмитовой теплицевой фор мы (порядка п)

п—1

T V l ( х , х ) =	2 0 > -4 ^ Р ?4			(^ - р = ^р>		Р = 0 , 1 , . . . , П	1 )
	Р. 4 = 0					(19.1)

матрица	Тп-г =		\|ср^д \|\|р,-д=о		после	преобразований	(см.
п. 17.1)	H U		= Tn^Jnj		Hn-i =	JnTn-x

приводит	к ганкелевым			матрицам Нп-1 , S n-i, которые
невещественны		(а стало		быть, н е э р м и т о в ы — см.
п. 9.1), е с л и		н е в е щ е с т в е н н а м а т р и ц а					Т„_!•

Поэтому в общем случае у нас нет возможности с помощью

H U ( и л и H U ) образовать ганкелеву эрмитову или вещественную квадратичную форму и сопоставить ее с

формой (19.1).	поэтому	в е щ е с т в е н н ы м и			квад
Ограничимся	поэтому	в е щ е с т в е н н ы м и			квад
ратичными теплицевыми формами, т.				е. формами
		п—1
Тп-х(х, X) — 2			<'p-g£p5g
		Р, 4 = 0
(с_р =	ср, р =	0, 1,	. . .,	П — 1)	(19.2)