Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 184
Скачиваний: 0
206 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ [ГЛ. IV
коэффициенты которой sk связаны с коэффициентами ср формы (19.2) простыми соотношениями (см. (17.2) и (17.3))
s k = c ft-(n-1 ) = |
|
(/с = 0 , 1, . . ., 2 п |
2 ), |
|
Ср — Sp+(7i-i) = |
5- р+ (n-i) |
(Р — 0» + |
• • •> d= |
(и— !))• |
Таким образом, |
матрица |
ffn-i = lty+JEut=<> симметрич |
||
на не только относительно главной, но и относительно побочной диагонали. Поэтому мы должны ограничиться формами (19.3) именно с такими матрицами, если поже лаем двигаться и в обратном направлении — от ганкелевых к теплицевым матрицам.
Естественно поставить вопрос: как преобразуются ос новные инварианты форм — ранги и сигнатуры — при указанных выше преобразованиях, каковы правила их пересчета? Однако такая постановка оказывается некор ректной. Уже простые примеры показывают, что ранг и сигнатура, скажем, формы (19.2), вообще говоря, не определяют сигнатуры соответствующей формы (19.3) (ран ги форм(19.2) и (19.3), разумеется, совпадают, ибо матрицы
Тп |
и |
Я п-х этих форм отличаются друг от друга только |
||||
порядком следования строк (столбцов)). |
(порядка |
|||||
п = |
П р и м е р . Пусть теплицева форма Т2 (х, х) |
|||||
3) |
определяется матрицей |
|
|
|||
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
Тг |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
с последовательными главными минорами D -x = |
1, D 0 = |
|||||
= i, D1 = О, D2 = —1. Ранг ее и сигнатура равны соот ветственно: р = 3, ат, = 1 (по правилу (16.6) или по тео реме 8.2). Соответствующая ганкелева матрица Н2 = JST2 имеет вид
0 1 1 Нг = 1 1 1 1 1 о
еепоследовательные главные миноры равны:
~1» D§50, Di ~ —1, D%—1,
I 191 в з а и м н ы е Пр е о б р а з о в а н и я 20?
так что (по правилу Фробениуса (12.20) или по теореме
8.2) бя§ = - 1, |
|
|
Рассмотрим теперь теплндеву матрицу |
||
1 0 |
2 |
|
Т* = 0 |
1 |
О |
2 |
0 |
1 |
снова порядка' п = |
3 и ранга р = |
3. |
Сигнатура соответ |
|||
ствующей формы Т2 (х, х) |
(поскольку D -г = |
1, |
D 0 = 1, |
|||
2?! = 1, D2 = — 3) |
равна: |
Of = |
1, |
как и |
у |
формы |
Т2 (х, х).
Однако у ганкелевой формы Й2 (х, х) с матрицей
2 |
0 |
1 |
{JST2= )H 2 0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
и последовательными главными минорами D_x = 1, D0 =
= 2, D[ = |
2, D2 = 3 сигнатура равна: |
= 3. |
19.2. |
Отрицательный результат, |
обнаруженный в |
п. 19.1, не должен нас обескураживать. В действительности оказывается, что существуют неособенные линейные пре образования независимых переменных, переводящие про извольные эрмитовы теплицевы формы в эрмитовы ганкелевы формы и обратно (здесь допущена некоторая воль ность речи — точные утверждения см. ниже). Речь идет
о преобразованиях |
Э. Фишера — Г. Фробениуса, |
кото |
|
рыми мы сейчас займемся. |
числа, |
||
Пусть а и |
b — произвольные комплексные |
||
о т л и ч н ы е |
о т |
н у л я , а п — натуральное |
число. |
Зададим линейное преобразование (комплексных) пере менных (|0, 1ц . . ., £„_*) в (комплексные) переменные
Ole» |
Tli> •• |
Tin-i) |
следующим образом. Рассмотрим тож |
||
дество |
|
|
|
|
|
So + |
h* + |
S2e2 + |
- + ^ - xen-i = |
|
|
|
= |
(a + |
ae)n- Lri0 + |
(a + аг)п~г {b + |
be) % + ... |
|
|
f. . . + (b + |
be)71"1^ - ! |
( Ф .- Ф .) |
|
двух многочленов, в котором е — независимая перемен ная. Если в многочлене, стоящем справа, раскрыть все
208 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
скобки, а затем сравнить коэффициенты при одинаковых степенях е в левой и правой частях, то получим соотно шения вида
n—1 |
|
|
£Р= 2 арЯ; |
(р = 0 ,1 , ... , п — 1), |
(19.4) |
3=0 |
|
|
задающие искомое линейное преобразование, которое мы назовем преобразованием Фишера — Фробениуса *) (сокра щенно — преобразованием (Ф .— Ф.)).
1°. При дополнительном требовании
Д ~ ab — аЬ 0 |
(19.5) |
преобразование (19.4) является неособенным.
В самом деле, при условии (19.5) имеют смысл взаим
но обратные дробно-линейные преобразования |
|
||||
|
а __ &+ ^6 |
|
р _ |
|
|
|
а + ае |
’ |
Ь— ад ’ |
|
|
в силу которых соотношение (Ф .— Ф.) можно |
переписать |
||||
в виде |
|
|
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|
|
(аЬ — ab)n_1 2 |
Фц; = |
|
|
|
|
з'=о |
|
|
|
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|
= |
2 Ф — ай)п_1_г (ай — Ъу £р. |
(Ф. — Ф. bis) |
|||
|
р=0 |
|
|
|
|
Сравнивая здесь коэффициенты при одинаковых |
степенях |
||||
й, получим |
соотношения |
|
|
|
|
|
п-I |
|
|
|
|
■Пз = 2 М ;р |
(/ = |
о, 1 , . . . , п — 1), |
(19.6) |
||
|
р=0 |
|
|
|
|
являющиеся обращением линейного преобразования (19.4). |
|||||
19.3. |
Найдем теперь явные выражения для коэффици |
||||
ентов apj преобразования (19.4). |
|
|
|||
*) Соотношение (ф. — Ф.) предложено Г. Фробеииусом [45]. Оно обобщает введенное ранее Э. Фишером [43] преобразование, ко
торое получается из (Ф. — Ф.) при частных значениях а = 1/2,
ъ = —иг.
19 |
ВЗАИМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
209 |
* ] |
|
2°. Коэффициенты преобразования (19.4) вычисляются
по формулам |
|
|
|
|
ар} = ап~1~Ф1~рЬр |
2 |
C Li-jC r!i [-J-) |
|
|
|
|
Ц = 0 |
' аЬ 1 |
|
|
(p>j = |
0 , i , . . . , n — 1), |
(19.7) |
|
в которых |
|
|
|
|
I |
s! |
пРи |
s > t > 0, |
|
|
-гг-.----- ггг |
|
||
|
41 (* -»)! |
у |
|
(19.8) |
Опри бсеж прочих s, t.
Всамом деле, внесем выражения (19.4) в породившее
их равенство (Ф .— Ф.):
п—\ |
п—1 |
п—1 |
2 |
( 2 арръ) & = |
2 (а + ае)п-1-з (Ь + Ъв)> Pj. |
р = 0 |
'з= 0 |
3=0 |
Меняя порядок суммирования в левой части и сравнивая соответствующие коэффициенты при произвольных вели 31чинах— 1 *r\j, получаем
2 аРзЕр = (й + ае)"--1-] (Ь+ 5а)5' ( /= 0 ,1 ........ |
П — 1), (19.9) |
р==0
Или
п —1
2 HpjEP = й1
33=0
Выполним теперь умножение в правой части и сравним коэффициенты при ер в обеих частях:
ар} = а1 |
П—1—3 3 |
я |
||
2 |
2 |
|||
ciU -,-3 (4 -)' |
||||
|
р =0 |
v=0 |
^ * |
|
|
U n |
\»=П |
||
(H -v = P )
(ц,7 = 0 , 1 , . . . , г а — 1).
Остается положить здесь всюду v = р — ц, и тогда, учи тывая соглашение (19.8), получим (19.7).