Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

форма Киллинга — Картайа в Го. Отсюда находим явный вид элемента

i

где ht — фиксированный базис в картановской подал­

полусумма положительных корней алгебры Го. Следо­ вательно, Рх > (X, к) 0. При этом имеем

Р ( t ) = Рх> ((рп£)х) < fcnnlp0 (П)-

По известной формуле Г. Вейля [6], [11], пК— полином от X. Отсюда находим, что для любого т = 0, 1 , 2, ...

имеет место оценка

где р т (|) — непрерывная полунорма в Е. Следователь­ но, ряд Фурье элемента £ абсолютно сходится в Е. Если

£ — сумма этого ряда, то £ — £ имеет нулевые коэффи­ циенты Фурье, откуда, согласно предложению 7.1,

46

где сх — числовая п%X ге^-матрица (коэффициент Фурье функции ф (к)). Согласно предложению 7.6, этот ряд сходится к ф (к) в топологии С°° (К ). Оператор (5 в

С°° (К) называется оператором Лапласа — Белътрами. П р е д л о ж е н и е 7.7. Топология в С°° (К) опреде­

ляется системой полунорм

соответственно, полунормами (8), (9). Заметим, что

|сх |= max п\ |(ф, ягМ |< /гхр0(ф)-

г. }

Используя оценки (7) при Е = С°°(К), находим, что т' мажорирует т". Согласно (8), т" мажорирует т. Ясно также, что т мажорирует т'. Предложение доказано.

З а м е ч а н и е . Пусть |ф |р — норма ф (ElLp (К ), 1 ^ Р ^ оо. Вместо (9) можно рассматривать полу­ нормы

<оо.

Заметим также, что 8 = 1 + Р — обратимый опе­

ратор в С°° (К). Полунормы (И ) можно заменить нор­ мами

47

проверяем, что ряд Фурье каждой (обобщенной) функ­

§ 8. Полная неприводимость

Пусть Е — отделимое локально выпуклое прост­ ранство над полем С, S (Е) — алгебра всех слабо не­ прерывных эндоморфизмов Е Е. В алгебре S (Е) мы будем рассматривать слабую операторную топологию,

определяемую полунормами

зывается вполне неприводимым, если его линейная оболочка плотна в S (Е). Представление л группы G (алгебры А) называется вполне неприводимым, если мно­ жество л (G) (л (А)) вполне неприводимо.

З а м е ч а н и е 1. Если Е — пространство Макки ([27], стр. 168), то S (Е) а С (Е). Всякое борнологиче­ ское и всякое бочечное пространство является прост­ ранством Макки — см. [27]. В частности, всякое про­ странство Фреше является пространством Макки.

Множество М называется топологически неприводи­ мым, если в Е не существует собственных подпрост­ ранств, инвариантных относительно всех операторов

аМ.

Пр е д л о ж е н и е 8.1. Из полной неприводимости множества М следует его топологическая неприводи­

его аннулятор в Е ', то F (g) F-L содержится в аннуляторе М, откуда следует, что замкнутая линейная оболочка

48

Е, то условие полной неприводимости для М совпадает

сусловием топологической неприводимости для М.

До к а з а т е л ь с т в о . Замкнутая линейная обо­ лочка А множества М является подалгеброй в S (Е) =

=С (Е) и совпадает, в силу теоремы плотности фон

теоремы Бернсайда, условие полной неприводимости всегда равносильно условию топологической неприво­ димости (причем в определении 8.1 линейная оболочка М совпадает с L (Е)).

Следующее утверждение является аналогом извест­

Хана — Банаха) оператор проектирования на С|хв дву­

представление коммутативной группы (алгебры) одно­ мерно.

Действительно, в этом случае S (Е) = С-1.

' 3 а~м е ч а н и е 3. Для топологически неприводи­ мых представлений аналог леммы Шура неизвестен. Действительно, даже для'"представлений аддитивной группьГН эта проблема, по существу, сводится к проб­ леме инвариантного подпространства для операторов

S (Е).

49