Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

ка (§5).

Пр е д л о ж е н и е 8.5. Из полной неприводимости

М' следует полная неприводимость М.

До к а з а т е л ь с т в о . Если a ЕЕ S (Е) и Ъ—

линейная комбинация элементов М, то Ъ' — линейная комбинация элементов М ', и в равенстве

<(а — Ъ) I, ц > = <1, (а' — Ь') ц >, Ц Е Е ',

правая часть может быть сделана сколь угодно малой (при фиксированных £, ц). Следовательно, а —точка прикосновения элементов Ь, т. е. М вполне неприво­ димо. Предложение доказано.

С л е д с т в и е 8.6. Из полной неприводимости М следует полная неприводимость М ' в слабой топо­ логии Е '.

Действительно, в этом случае (как и вообще в дуаль­ ной паре) Е, Е' можно поменять местами.

С л е д с т в и е 8.7. Если Е рефлексивно, то полная неприводимость М равносильна полной неприводимо­ сти М '.

За м е ч а н и е 4. Если М вполне неприводимо, то

Мw. М' топологически неприводимы относительно лю­ бой топологии, согласующейся с двойственностью Е, Е '.

аппроксимируется линейными комбинациями элементов

50

в 3 (E)i если для каждого п существует линейная ком­

2) замкнутая линейная оболочка А множества М содер­ жит слабую единицу рп, то из полной неприводимости

П р е д л о ж е н и е 8.10. Элементы рп образуют слабую единицу.в S (Е).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Р — замкнутая ли­ нейная оболочка рп, п = 1, 2, . . ., в S (Е). Если эле­

мент / = 0 rjj в Е (g) Е' аннулирует Р, то, согласно

т. e. <1, /> = 0. В то же время, если 1 ф. Р, то суще­ ствует /, аннулирующий Р и отличный от 0 на 1 (тео­ рема Хана — Банаха). В результате 1 ЕЕ Р. Предложе­ ние доказано.

Пусть G — топологическая группа, К — компакт­ ная подгруппа в G, Е — квазиполный G-модуль, неп­ рерывный при сужении на К. Напомним (§ 7), что мо­ дуль Е называется if-финитным, если все проекторы ех конечномерны.

Пр е д л о ж е н и е 8.11. К-финитный G-модуль

Евполне неприводим тогда и только тогда, когда он то­

пологически неприводим.

51

ранство всех .К-финитных векторов из Е. Согласно предложению 7.5, У инвариантно относительно U (9).

Каждому замкнутому подмодулю Е0 СИ Е поставим в соответствие подмодуль У0= V [}E Q U (й)-модуля У.

Пр е д л о ж е н и е 8.18. Отображение Е 0 <-»- F0 определяет взаимно однозначное соответствие между

У, Е 0 — его замыкание в Е. Ввиду аналитичности век­

С л е д с т в и е 8.14. Регулярный G-модулъ Е впол­ не неприводим тогда и только тогда, когда U (g)-^o-

ствительно, векторное подпространство имеет одно и то же замыкание в сильной и слабой топологиях.)

* * *

Аксиоматика теории представлений в локально выпуклых векторных пространствах была, по-видимому, впервые изложена в работе Брюа [31]. См. также [3], гл. VIII, § 2. Групповые ал­ гебры (§ 6) рассматривались в работах А. Вейля [5], Годмана [43] и других авторов. Относительно дифференцируемых и ана­ литических векторов см., например, [44], [45], [78], [88]. Векто­

52

ры, финитные относительно максимальной компактной подгруп­ пы К а G, рассматривались Хариш-Чандрой [96], Годманом [43], Наймарком [79] в связи с представлениями полупростых групп Ли и групп евклидовых движений. См. также [83J, [84], [92]. Понятие полной неприводимости предложено Годманом

[43]для представлений в банаховых пространствах и перенесено

в[55] на общий случай. (Эквивалентное определение дано в работе Фелла [92].) В некоторых работах [59], [66] вместо алгебры S (Е ) при этом рассматривалась С (Е). Конечномерная аппроксима­

ция рассматривалась в работах Наймарка [20] и автора [59]. См. также [83].

Относительно общих вопросов, изложенных в этой главе, см. также обзор Бореля [1] и книгу Уорнера [24].

Гл а в а 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ G -МОДУЛИ

Вэтой главе дается определение элементарных G-модулей £>х и связанных с ними U (д)-модулей Ly , которые являются

основным объектом изучения на протяжении нескольких глав. Предварительно в § 9 дается описание известных фактов о строе­

позволяет свести изучение топологических модулей D y к изу­ чению модулей Ьу .) Каждый модуль L y является финитным мо­

дулем Хариш-Чандры. (В § 20 будет доказано, что система мо­ дулей Ly обладает'определенным свойством полноты по отноше­

нию к алгебре U (д).) В § 12 дается описание всех конечномерных подмодулей D y .

§ 9, Группа G и ее подгруппы

Пусть G — полупростая связная комплексная груп­ па Ли, д — ее алгебра Ли. Мы рассматриваем д как алгебру Ли над полем R. Комплексная структура дс алгебры g описана в § 1.

Для каждой из подалгебр (), п_, в+, Ь_, Ь+, f, а, ш, описанных в § 1 , пусть Н, N_, N+, В_, В+, К, А , М — соответствующие аналитические подгруппы в G. Все эти подгруппы замкнуты в G. Для краткости положим также N = N+, В = В+. Операции транспонирования (х >-*- х') и эрмитова сопряжения (х ь* ж*) в алгебре g естественно переносятся на группу G ((ехр х)' = ехр ж', (ехр ж)* = ехр ж* для всех ж (ЕЕ д). В частности, N' =

= N* = N_, Н' — Н* = Н.

53

Подгруппа ti — картановская подгруппа в G (мак­ симальная абелева подгруппа, присоединенное действие которой диагонально в д). Подгруппы N_, N+ — мак­ симальные нильпотентные подгруппы в G. Обе они одно­

связны. Множество G = N_HN+ открыто в G в топо­ логии Зарисского (G — алгебраическое многообразие),

ренних автоморфизмов. Подгруппа А — максимальная

тор в группе К. При этом Н = МА — прямое произ­ ведение М и А.

Иеасаеы.

Опишем множество всех характеров (одномерных представлений) борелевской подгруппы В = В+. По­ скольку всякий характер тривиален на производной подгруппе N = N+, то он однозначно определяется своими значениями на картановской подгруппе Н. Ввиду разложения Н = М А, всякий такой характер, в свою очередь, однозначно определяется своими зна­ чениями на М и А.

Пусть ()с — комплексификация алгебры (>. Соглас­

Пространство, дуальное к §с, отождествляется с ()с при помощи формы Киллинга — Картана. Соответственно, пара р |q ЕЕ (>с отождествляется с линейной формой

54