Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

над i) вида

(Р I Я) (х) =

Р (х) + q (®),

р,Ч<=Ъс,

х еЪс-

Подалгебра

а

выделяется в f) условием X = х, подал­

гебра m — условием X =

— х, откуда (p\q) (х) = (р +

+

q) (х) при х е Л, (р |д)

(х)

— (р — q) (х)

при х €Е Ш.

Положим

с т = р + д , v = р — q

и

условимся

писать p\q = v ® а (ввиду

разложения

ет

= m ® а).

Произвольный характер 0 группы Н име­

вид 0 (ехр х) = ехр %(х),

где % (х) — комплексно­

0

(ехр х) = ехр (р [ q) (х) = тУа”,

zEEf),

где положено ехр х = Ъ = та , т ЕЕ М,

а ЕЕ А, 6х —

характер

группы В с дифференциалом %(mv, а0 — ха­

рактеры М, 4 с дифференциалами v, а).

Пусть

Г0 — множество всех весов максимального

становку X

+ Р> Р = S 16, где б — полусумма по­

ложительных корней в алгебре (>с- Заметим, что

б{ =

2 <б, сц>/<сц, сц> = 1, i = 1, 2 , .. . , I

*) Если G односвязна, то Г0 =

Г.

**) Заметим также, что

р (х ) =

1/2 sp я + (х ), где п+ — при­

соединенное представление

f) в вещественной алгебре п = п+.

Л е м м а 9.2.

Мера Хаара dk на К квазиинвариант-

на относительно

действия группы G,

причем

dk = awdk.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим g

= кап, g0k =

= кап,

тогда

g0g = капап — к^рг^

где положено

к1 = к,

at = аа,

щ = (а~1па) п. Отсюда

a2pdk da dn —

— dg =

d (g<jg)

=

off dk da dn,

t . e. dk

=

a2pdk. Лемма

affdn_ dh dn+,

где положено h = та0, т ЕЕ М , de E i .

Заметим, что

dh =

dm~da0. С другой стороны, при

п_ = кап имеем g =

kanhn+ = kah (h~1nh) n+ — kma0an,

где km EE K, n =

£E N. Отсюда, согласно лем­

В

дальнейшем

мы нормируем меру dk условием

I dk =

1.

Заметим,

что, ввиду компактности К, меру

dk можно

рассматривать также как меру на G/В ^

Пусть S0 — произвольная подсистема в

системе

S всех простых корней алгебры дс, д 0> =

ЗТ^о) —

щими еа, е_а, а ЕЕ S0. Подалгебра Ьо =

Ь Г\ &о натя­

нута на корни а е

5 0 и является картановской подал­

геброй в д0. Пусть

— ортогональное дополнение ()0

в

Подалгебра gx

= д0® bi содержит

и является

представление в дх вполне приводимо).

При этом д0 =

—dSi и f)i — центр дх.

Далее,

положим п0 = n f]

0о>

и пусть пх — ортогональное дополнение

п0 в п. Подал­

гебра р =

дх 0

содержит

борелевскую подалгебру

Ь = 1) © И,

и

аналитическая

подгруппа

Р = ехр р

замкнута в G. Следовательно,

Р — Р (S0)

—- парабо­

лическая подгруппа в G. С другой стороны, для всякой

параболической подгруппы Р ZD В пусть S0 =

S0 (Р ) —

множество

всех корней а ЕЕ S

таких,

что

е_а содер­

жится в алгебре Ли группы Р.

П р е д л о ж е н и е

9.4.

Всякая

параболическая

подгруппа в G, содержащая В,

имеет вид Р = Р (S0)

при S0 = S0 (Р ).

Пусть р — алгебра

Ли

Д о к а з а т е л ь с т в о .

группы Р.

Поскольку

Ь CZ Р,

то проекции

р на

tt',

Кроме того,

если х = 2 сфа е Р, то

я ( А ) г е р для

всех h ЕЕ (),

а < 0

представление в

где я — присоединенное

саеа е Р для всех

а < 0, откуда

C j E P при са Ф 0.

Следовательно, р

содержит все

свои проекции на

Сеа, а <

0. Пусть е_а 6Е )>,

а

0.

Если корень а не

является

простым,

а

== [3 +

у,

р

0, у _> 0, то,

сог­

ласно тождеству

[<?3,

е_а] =

Me_Y,

N Ф 0, вектор

e_Y

этот процесс, заключаем,

что р П я' порождается об­

разующими е-а, a € = S 0,

где

положено

S0 =

S0 (P).

В результате Р = Р (S0). Предложение доказано.

Полупростые подалгебры

вида g0 = в ( $ о )

(редук-

тивные подалгебры вида

= 90 ® $i)

называются

комплексная

группа

Ли. Рассмотрим пространство

D = С°° (G) как левый G-модуль относительно действия

(#ф) (х) = ф (g^x),

х, g €Е G. Положим

Dx =

{ф е

D: ф(хЪ) = 0 (by1ф(х), ЪGE В},

где 0 (Ъ) — характер

борелевской подгруппы В с сиг­

натурой % +

р (§

9).

Очевидно, D x — замкнутый под­

Напомним, что 0(6) = 0 (man) =

wiva0+p при т 6Е М,

а € Е А , n ^ N . Условимся также

писать D x = D v0

вующее в D x, обозначим ех=

evo и назовем элементар­

ным

представлением группы

G с сигнатурой х —

см.

[58].

дем

называть

определяющим идеалом модуля D x.

2. Ввиду разложения Ивасавы,

каждая функция

ср GE D x однозначно

определяется своим сужением <р0

на

подгруппу

К.

Действительно,

ср (х) = ср (кап) =

— а~а- рср0(к).

Положим

25„ = {ср GE С50(К)\ ср (k m ) = m^cp (к),

т ЕЕ М].

Рассматривая 25 = Сх (К) как левый G-модуль отно­

сительно действия

(gq>) (к) = а_0_рср (к), a — a(g~1k),

к =

к (g~*k),

легко

проверяем, что

ср >-*■ ср0 — изо­

морфизм G-модулей D x, 25v при % =

v ffi а.

нильпотентной подгруппе N'.

3.

П р и м е р . Положим G = SE (2, С). Подгруппа

В =

HN состоит из всех верхних треугольных матриц в

G (элементы Н диагональны, элементы N унипотентны).

имеет вид p\q, р, q (=

С, р — ? е

Z.

Сопоставляя каж­

дой матрице

g ЕЕ G

вектор-столбец

с

координатами

—~gn, i = 1 , 2 , находим, что GIN

X — С2 \ {0}.

Отсюда

Dx = {ср е

С“ (Ху

ср (кх)'= х-р~Ч~7-' ср (*), ГХе

С},

и действие G в D x определяется по правилу (g ср)

(х) =

= ср (g -1 х),

gx — умножение матрицы g ЕЕ G на стол­

бец х ЕЕ X. Подгруппа К состоит из всех унитарных мат­

риц в G. Отображение

D x -> 25„

определяется

путем

сужения ср (х), х ЕЕ X, на единичную сферу S,

=

{х ЕЕ

G X : l^il2 +

1^2|а = 1 ) ,

гомеоморфную

К.

Реализа­

ция ех в классе функций на N' описана в [8].