Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

IIф II = (ф. ф),/г-

Пр е д л о ж е н и е 10.1. Представление ех продол­

II ЯФ1Г = 5 (#/) (к) dk = \ й~Ше°/ (к) dk< С21Ф|2,

=— ?| — Р = v ® (— 5)-

Пр е д л о ж е н и е 10.2. Модули D x, Z?_x дуальны

вариантной положительно определенной формой в клас­ се таких функций. Аналогично рассматривается пара D x, D x*. Предложение доказано.

В частности, %* = %, если Re ст = 0. В этом случае, согласно предложению 10.2, представление ех унитар­ но. Соответственно, ех унитарно в Нх. Семейство пред­ ставлений ех, Re а = 0, называется основной серией Гельфанда — Наймарка [9].

З а м е ч а н и е 1. D x является подпространством Гординга в Нх. (Доказательство предоставляется

читателю.)

З а м е ч а н и е 2. Согласно лемме 9.3, форма <Ф, яр > на Dx X D -x может быть также записана в виде

60

F(G, V) — пространство F-значных функций на G, кото­ рое является G-модулем относительно левых сдвигов на

Gи С0-модулем относительно представления

и (go) / (ж) = п 0(go) f (xgo), x<=G, g0d G0,

где я 0(g„) действует на значения вектор-функции f (х). Пусть Fr,n„ (F) — подпространство всех Gn-инвариан- тов F (G, V) относительно я:

вого) индуцирования *).

Ле м м а 10.3. Пусть G — группа Ли, Gn(Z G, —

еезамнутые подгруппы. V — G„-модуль Фреше **). Ото­ бражение б: (f(x) (е)) является топологическим

изоморфизмом G-модулей:

Cgg, (CgiGA V ) ) ^ C gGo(V).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Представим б в виде ком­ позиции у о е, где е: / (х) >->- f (х, g) = (/ (х)) (g) —

изоморфизм векторных пространств

C '(G ,C '(G U 7 ))~ G ’°(G xG 1, V),

который является также изоморфизмом Ggg, (G°° (Gx, F)) на подпространство $ СИ G°° (G X Gx, V) всех функций / (х, у), х d G, у ЕЕ Gx, удовлетворяющих соотношению

/ (xz, у) — f (х, z-'y), z e C j ,

*) Часто в литературе рассматривается также аналогичная операция левого индуцирования.

**) Условие, что У — пространство Фреше, вводится для уп­ рощения доказательства.

61

иу: f (х, у) <-*- ср (я) = / (х, е) — изоморфизм прост­

ранства на С°° (G, V). Из равенства ф (xg0) =

— (/ (x))(go)i go €= G„, следует также, что б является изо­ морфизмом индуцированных G-модулей.

Заметим, что все рассматриваемые пространства яв­ ляются пространствами Фреше. Из непрерывности е-1, у и теоремы Банаха заключаем, что е, у — тополо­

В с дифференциалом %. Частным случаем леммы 10.3

— 0 (г)-1/ (х), х ее G0, r ^ R . Действие группы G в клас­

где r, £ определяются из разложения Леви g_1x = Жг. В частности, ех (G0) — еХо, где Хо определяется из ра­ венства

Хо 4“ Ро — (X 4“ Р) I Фо» Ро = ^о |б0,

60 — полусумма положительных корней из (j0. Из ра­ венства 2 <6, а>/<а, а> = п 1 , а £ 5 , находим, что 60 =»

62

модулю D/0 соответствует (замкнутый) подмодуль D x. С л е д с т в и е 10.7. Всякому (непрерывному) го­ моморфизму D Xo-*-Dф0 соответствует (непрерывный)

сильной топологией (относительно Z)_x) и структурой

наха, D x —JD73X, где Зх — аннулятор D X,D' = 25(G) — алгебра всех финитных обобщенных функций. Легко проверить, что Зх — замкнутый левый идеал в 25 (G),

порожденный элементами вида х — X (х) + Р (х)> х £= GE Ь (b CZ U CI 25 (G)). Доказательство (основанное на рефлексивности D и определении D x) предоставляется читателю.

8.Всякий вектор G-модуля Е , весовой относительно

В= В+, условимся называть старшим вектором мо­ дуля Е.

В частности, пусть 6 — 6е — дельта-функция на G с носителем в единичной точке е. Пусть / х — сужение функционала 6 на модуль П_х.

*) Действительно, D x — монтелевское пространство (см. замечание на стр. 35).

63