Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

2.

Из сужения на К ясно, что Ьх — финитный мо­

дуль Хариш-Чандры. Опишем структуру этого модуля

несколько

подробнее.

Пусть X — алгебра сферических функций на груп­

пе К с градуировкой

X х относительно левых сдвигов

на К (§

7). Пространство

Х, = з п © *

является образом Ьх при

отображенииD x ->

(§ 10).

Соответственно,

X v наделяется структурой

д-модуля

(изоморфного Ьх).

Заметим, что действие подалгебры f порождается

левыми

сдвигами в

X

Следовательно, X v является

модулем

Хариш-Чандры

с

градуировкой 52х — 35х(")

п2 ,. Напомним

(§

7),

что

X х ~ Е х ® Ех.

Соответ­

ственно,

имеем

f-модульный

изоморфизм *)

Xt ~ Ех (8) £ х (v),

где действие J в правой части определяется по правилу

х (| (Я) т})

= х\ (g) т],

a : £ f .

(Отображение

£ (g) ц ->

Следовательно,

кратность

вхождения

пх в 5?х есть

пх (v),

J , s A ,

где пх (р)

— кратность

веса

р в

л\

Минимальным из весов К, для которых

Х\

(0),

яв­

ляется

^.0 = v+

(доминантный

образ v

относительно

ТУ). При этом wv+ (v)

= 1 .

3.

Соответственно,

пусть

Lx — градуировка

д-мо-

дуля Lx относительно

подалгебры !.

<ф,

П р е д л о ж е н и е

11.2.

Билинейная форма

ф> определяет

двойственность

между

Lx, Ь~х, невы­

рожденную на

паре Ьх, Ь- х,

%' = — ш0А. При этом

<и%, г]) =

<£,

и'т]>,

и е У , 3*

3 Д. П. Желобенко

65

где и ь-»- и' — инверсия *) U такая, что и'

— — и при

и ЕЕ 9С-

Эрмитова форма (ср, г)))

определяет двойствен­

ность между L x , L x * ,

невырожденную

на паре L x , L x * ,

причем

{и%, Л) = (?. и*Л).

и е

и,

где и

и * — инволюция U такая, что и*

=

(a:|i/)*

=

= —у |— Xпри и ЕЕ9е. Каждый подмодуль в Lx совпадает

со своим

биортогональным

дополнением

в L - x ( L x * ) -

Доказательство очевидно. В дальнейшем мы рас­

сматриваем

представление ех =

evo в пространстве

П р е д л о ж е н и е

11.3. Оператор eva {и), и ЕЕ U,

является операторным полиномом от а ее фс

степени

не выше deg и.

Достаточно

рассмотреть

Д о к а з а т е л ь с т в о .

случай

и е

й (deg и =

1).

Дифференцируя

формулу

g ф) (к)

=

а~”~рф (к),

g

— exp Ш, при t

=

0, находим

i

(иф) (к) = — 2

(Pi + Pi) «г (*) ф (А) +

(ивф) (А),

i=i

где положено и0 = eV)_p (и),

a t {к) — производная

а'*

при t =

0,

е* — фундаментальные веса йс (§ 1), * =

1»

2, . .

I (и0, ocj — эндоморфизмы £ ч). Предложение до­

казано.

(и) не зависит от ст при

Заметим, что оператор

и ЕЕ U (fc).

Действительно,

ечо (к) ф (х)

=

ф (к~гх) при

к ^ К .

Д в о й с т в е н н о с т ь

м е ж д у

Lx,

-М-х

4.

Положим Мх = Ufx,

где / х — старший вектор модуля

2)х, определенный в конце § 10.

Аннулятор вектора

/ х

содержит

идеал / х = Ub (—%),

где

Ь (— %) — линей­

ная оболочка элементов вида х — % (х)

+

р (ж), х ЕЕ Ь.

Следовательно, М х

является

фактормодулем

М х (см.

§ 2) **).

11.4.

Билинейная форма

<ф,

П р е д л о ж е н и е

ф> определяет двойственность между Lx, М -х-

Д ‘о к а з а т е л ь с т в о .

Ввиду соотношения двой­

ственности

между D x,

Зд~х,

билинейная форма <ф, ф>

*) То есть антиавтоморфизм. Соответственно, инволюция —

антилинейный антиавтоморфизм.

^

**)

В действительности

можно

показать,

что

М х =

М %,

стороны, если <ср, ф> =

О

для всех

ф ЕЕ М -х, то все

производные

функции

<р

обращаются в нуль в точке

е,

откуда <р

= 0, ввиду аналитичности <р

(предложение

11.1). Предложение доказано.

Пусть Z — центр алгебры U. Скажем, что [/-модуль

Е

принадлежит характеру у алгебры Z, если z£ =

=

у (z)

|, £ €Е Е.

Из предложения

11.4

вытекает

С л е д с т в и е

11.5.

Модуль

33х

принадлежит

характеру у (z) = у (%,

z)

(§ 2).

где и ь». и' —

Действительно,

если z e Z, т о г ' е Z,

антиавтоморфизм алгебры U, определенный в предло­

жении 11.2. Действие z' скалярно в М~х, откуда, ввиду

дуальности Ьх, М~х,

действие z скалярно в Ьх. Следо­

вательно, также z скалярно в 3)х. Поскольку 25х со­

держит М х,

отсюда следует, что z£

=

у (х, z) | на 3)х.

С л е д с т в и е

11.6.

Всякий

вес алгебры

Ь в 33х

имеет вид (wp \w'q) — р,

w, w' ЕЕ W.

что

ни один

З а м е ч а н и е .

Нетрудно показать,

из векторов

не является f-финитным. Отсюда следует

также, что подмодули Ьх не совпадают, вообще говоря,

со своими биортогональными дополнениями относи­

тельно М~х.

G =

SL (2, С).

В этом случае X яв­

5.

С л у ч а й

ляется алгеброй с четырьмя образующими xlt хг, s lt

и соотношением х ^

х2Я2 = 1. Эти образующие мож­

но

интерпретировать

как

элементы

матрицы

г Е б :

наковой

четности с е0 =

|v |. Подпространство

Vn =

=

X v f|

совпадает с суммой Х\,

е0 ^

е

п.

Л е м м а

11.8*). Пусть

ф0 Ф 0 — фиксированный

вектор из X\°,

ф — произвольный вектор

из Хм.

Тог­

да

существует элемент и (ЕЕ U (зависящий от ф0, ф)

такой, что

е ( и ) ф0 =

рг (о) ф,

(*)

где р £ (о)

=

{о + е0 + 2)

(о

+ е 0+

4) . . . (а

+

е)

при

е > е 0, р£„(сг) =

1-

Равенство (*)

остается в силе,

если

v заменяется на — v,

ф0, ср —

на когредиентные (отно­

сительно Е)

векторы

Ввиду

неприводимости

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Х\, каждый вектор ф Ф 0 является

циклическим в Х\

относительно U (Ес). Поэтому достаточно доказать (*)

хотя бы для одной фиксированной пары ф0 ф 0,

ф

0.

Воспользуемся

реализацией ev0 в классе С°° (X ),

X =

=

С2 \

{0} (§ 10). Положим при v

=

е„ )> 0

Фо =

(|Х\ |2 +

|

|2)т4°,

т =

—

Va (<з +

е0 +

2).

Легко

проверить,

что ф0 ЕЕ Х%°-

Применим к вектору

<р0 преобразование

подгруппы

А: хх >->- хге~(,

хг >-»-

к». х2е(, ( £

R.

Пусть ип — касательный

вектор

под­

группы А. Вычисляя к-ю

производную по t при t

= 0,

находим

eva (и*) Фо =

Ре (а) ф (m od V ^ ),

е =

е0+

2к,

где

ф — ортогон ал ьн ая

п роекц и я

на

XI

вектора

|х |аО-»>а:$21,+\

|х

|2 =

|хг |3 +

|х2 |2

(при

вычис­

*)

Эта лемма будет использована в § 14.