Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 153
Скачиваний: 0
лении используется тождество \х |= 1, х ЕЕ К). Далее, пусть ct £Е U (fG) — проектор на лЕ в прямой сумме ях, 0 ^ Y ^ е. Элемент и — ctu0 удовлетворяет (*). Наконец, заметим, что вектор
Фо = |
(I*i |а + 1хъ \г)тх\° е Ж1“ |
|
когредиентен ф0 (действительно, |
х2 еЕ £ когредиентно |
|
е j). Применяя |
предыдущие |
преобразования к cpq, |
получаем (*) с заменой ср когредиентным вектором ф' ее
ЕЕ 3LV. Лемма доказана.
Пусть N — натуральный ряд, N* = N \ {0}. Если
(1) р, ? e - N * , то Lp\q содержит собственный подмо дуль Rp|q, порожденный однородными полиномами сте
пени |
|р |— 1 по х, степени \q\ — 1 по X(dim Rp \q < оо). |
Если |
(2) р, q ЕЕ N*, то Lv \q содержит собственный под |
модуль Fp |q — ортогональное дополнение к i?_p |_а. Из леммы 11.8 легко получить.
Сл е д с т в и е 11.9. Модуль Lp\q приводим только
вслучаях (1), (2).
Доказательство предоставляется читателю в каче стве упражнения (см. также общий критерий неприво димости в § 18). Наконец, нетрудно показать, что R Р\ч №р\ч) — единственный собственный подмодуль Lp\q. Тем самым полностью описываются подмодули Lp\q
при G = SL (2, С).
§12. Конечномерные подмодули
Вэтом параграфе будут описаны все конечномерные подмодули модулей Z>x. Ясно, что каждый такой под
модуль является также |
подмодулем Lx. |
||
П р е д л о ж е н и е |
12.1. |
всякий |
неприводимый |
конечномерный G-модуль |
V вкладывается |
в D x посред |
|
ством отображения |
|
|
|
£>-»■ \{х) = (х~Ч, />, |
? e F , |
|
|
где / — старший вектор контрагредиентного модуляУ.
При этом X + Р = — Х'. где %' = Л,||Х — вес вектора /. {Соответственно, V имеет старший вес — w0K|— д>0р,.)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Ясно, что £ (х) е С°° (G) и преобразованный вектор g£ переходит в (g £) (х) —
= I (Г"1*)- Если £0 (х) = 0, то Gl0 J_ / |
£0 = 0, т. е. |
69
отображ ение £ ь * | (х) |
инъективно. |
К ром е того , |
|
5 (*ь) = <ъ~ч~ч, /> = |
<х-ъ ь/> = |
е(6) g (х), |
ъе 5, |
где 0 (6) — характер группы 5 с сигнатурой |
В ре |
||
зультате V —> Z)*, — X — р = |
Остается |
заметить, |
|
что младшим весом V является — |
т. е. старший вес |
||
имеет вид — ш0х' = — w0X |— н;0р. Предложение до казано.
Всякий вектор, собственный относительно В_, ус ловимся называть младшим вектором. Соответствующий вес называется младшим весом.
П р е д л о ж е н и е 12.2. Подпространство млад ших векторов D x не более чем одномерно и натянуто на функцию
0 (ж) = 0(njm +) = |
0 (h), |
п_ |
N', |
h е |
# , n+^ N |
||
при условии, |
что |
0 ЕЕ С°° (G)), где |
0 (h) |
— характер |
|||
группы Н |
с |
сигнатурой — % — р. Соответствующим |
|||||
младшим |
весом является |
х |
р. |
|
воспользо |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Достаточно |
||||||
ваться определением D x и плотностью N ’HN в группе
G. Предложение |
доказано. |
|
со старшим |
|||
Пусть Е^Р — неприводимый G-модуль |
||||||
весом А. |р,, |
— контрагредиентный G-модуль. Из |
|||||
предложений 12.1, 12.2 получаем |
|
|
||||
П р е д л о ж е н и е |
12.3. |
Единственным |
конечно |
|||
мерным подмодулем D x, отличным от (0), |
является не |
|||||
приводимый подмодуль |
Ухц |
Е■)..!, определенный при |
||||
X |р = — X — р. |
|
р е Л. |
= Их+х'.щ-ц/. |
|
||
С л е д с т в и е |
12.4. |
правой |
||||
Действительно, |
ИхцУх^/ — подмодуль |
в |
||||
части, и равенство является следствием единственности.
З а м е ч а н и е |
1. Пусть |
Ех — комплексно-анали |
тический G-модуль со старшим весом X. Тогда |
||
Е41 = |
Ех ® Е'\ |
>.,Ц ЕЛ , |
где Ех — антианалитический G-модуль со старшим ве
сом р (ЕР = ЕР). Заметим, что Е% неприводимо при су жении на к. Аналогично, пусть Е^ — G-модуль, контра гредиентный Ег. Тогда
£ xia = Е\&) E\i, X / p s A .
70
Если G неодносвязиа, |
то представление в Ег, вообще |
|||||
говоря, неоднозначно. |
Если е0 — старший |
(младший) |
||||
З а м е ч а н и е |
2. |
|||||
вектор неприводимого |
{/-модуля |
Е, то Е = |
U (fc) |
е0. |
||
Действительно, |
из |
|
разложения |
gG = fG ® aG® |
вс |
|
следует, что U = |
U(fG) ® / 0, где /„ |
содержится в анну- |
||||
ляторе е0. |
|
3. |
Предложение 12.1 обобщается |
|||
З а м е ч а н и е |
||||||
следующим образом. Пусть V — топологически непри водимый дифференцируемый G-модуль, V — дуальный
G-модуль со старшим весом |
Тогда V вкладывается в |
|
Лх, —X — Р = %'• |
|
на |
Условимся считать (переходя к односвязной |
||
крывающей), что G односвязна. |
|
|
Ниже будет дано более подробное описание подмо |
||
дулей Ехц. |
|
|х, |
Положим для краткости а (х) = х |О, Ъ(х) = 0 |
||
х GE Зс> Пусть e_i, е0„ et — образующие алгебры |
jjc, |
|
удовлетворяющие закону коммутации |
|
|
||||
3 “ |
^oi) |
l^Qii |
|
f^Oi* |
i1= |
2c_^« |
Для каждой |
пары |
топологических |
G-модулей Е, F |
|||
пусть Ж (Е , F) — множество всех |
непрерывных гомо |
|||||
морфизмов (сплетающих |
операторов) |
Е —> F. |
п — не |
|||
П р е д л о ж е н и е |
12.5. |
Если — p t = |
||||
отрицательное целое число, то оператор
E i Ф = фа (е_;)п
содержится в Ж (D v\q, DWiV\q), где wt — отражение в
Ос по направлению простого корня а г. Аналогично, опе ратор
£гФ = фЬ(<Ч)п,
где п = —qi — неотрицательное целое число, содержит ся в Ж> {Dp\q, Dp\Wl^ .
что |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Достаточно |
проверить, |
||
E t: D p|, —» Е щР]1] (оператор |
Et рассматривается |
||||
аналогично). Для этого проверим, что |
|
|
|||
|
a (C-i) ffiw-plq CZ fBpq |
при |
—Pj = |
И Е N, |
|
где |
OBpi, — определяющий |
идеал |
D v\q |
(§ |
10). Доста |
точно рассмотреть образующие |
33Wip\q. |
Заметим, что |
|||
П
g2 перестановочно c |
е7перестановочно с с_г при |
||
г Ф / |
(а,- — a.j |
А). |
Далее, из тождества |
|
|
leu е™1= пеп7!(c0i — гг + 1) |
|
(легко |
проверяемого |
индукцией по п) следует, что |
|
a (e-f)n а (ег) 6Е 33Р|9 |
при и = —р г. (Действительно, |
||
= <р, e„j>, Р £= (jo) Аналогично рассматриваются об разующие из a (fjc). В результате имеем
(pa (С-j) OBwppiq CI ф ^ р|<2 = |
0, |
ф ЕЕ Dpiq, |
|
|||
т. е. сра (е_г)п £ |
Dw,Р|а. Предложение доказано. |
|
||||
Т е о р е м а |
2. |
Подмодуль |
F^pi ЕЕ 7?х выделяется |
|||
системой уравнений |
|
|
|
|
||
фа (e_i)Xi+1 = 0, |
фб (e _ / ibl = |
0, |
|
i = 1, 2 ,..., 1. |
(*) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть V — пространство |
|||||
всех решений |
(*), |
F0 — множество |
всех сужений |
на |
||
N' элементов |
ф 6 |
V. Поскольку а (е_г), Ь (е_г) — ка |
||||
сательные векторы |
N', то F0 удовлетворяет (*) на N'. |
|||||
Как показано в [12], стр. 500, пространство всех ре шений (*) на нильпотентной группе N' конечномерно.
Поскольку |
F ~ |
F0 (ввиду |
разложения Гаусса), |
то |
||||||||
так>ке |
dim V ф |
оо. |
Ясно, |
что |
F — подмодуль |
D х |
||||||
(предложение 12.5). Отсюда |
F = |
Fxp, |
согласно |
пред |
||||||||
ложению 12.3. Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть V'xy. — образ Fxn при отображении D х —> 2Х |
||||||||||||
(§ 10). Пусть с (х) |
= а (х) |
— Ъ(х1) |
— образ т Е |
Jc |
||||||||
при автоморфизме |
gc —> fc |
(§ 1). |
|
V |
CZ |
выде |
||||||
С л е д с т в и е |
12.6. |
Подмодуль |
||||||||||
ляется |
системой |
|
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|||
фс(с_;)Х1+1 = 0, |
|
фС( с / 4+1 = 0, |
i = |
l , 2 , . . ., I. |
(**) |
|||||||
Действительно, |
сра (ег) = |
срЬ (ег) = 0 тождественно |
||||||||||
на D x, т. е. (*) эквивалентно (**). В то же время с (х) |
— |
|||||||||||
касательные |
векторы подгруппы К, т. е. (**) выделяет |
|||||||||||
№ в £)v. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет |
||
П р е д л о ж е н и е 12.7. В пространстве |
||||||||||||
место |
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кег с (e-i)n = |
Кег с (е*)гя, |
т — п — v{. |
|
|
|||||||
72