Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

Скачать файл (7,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 151

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть X vtl е еЕ N, — гра дуировка X v относительно правых сдвигов на элементы

подалгебры

порожденной

корнем a t (е — старший

вес

подалгебры ?f).

Заметим,

что элементы X v имеют

вес

—V;

относительно

с (eoi).

Равенство <рс (<?_г)п = О

означает

при

этом,

что

содержится

сумме X vt,

— v i — 2п <d — е,

т.

е.

п + т.

Тот

же смысл

имеет равенство фс (ег)т

= 0. Предложение доказано.

С л е д с т в и е

12.8.

Х~С а V их для всех

W х\>- CI

v — экстремальная

точка

весовой

Действительно,

диаграммы Е^=ФЦ1С(е_;)

0 либо фс (ег) =

0 для всех

ф GE

ф удовлетворяет

одному

из

уравнений (**)

(при

каждом

г) =Ф ф удовлетворяет

(**).

В заключение отметим еще одно следствие из тео

ремы 2 относительно алгебры X.

С л е д с т в и е

12.9.

Подпространства

Vих обра

зуют фильтрацию алгебры X:

VХ'[Л' = V*>.+>/, \х+\1',

иX — объединение всех 0iE\v., X, р е А. При этом Ху,—

объединение -всех

W\\x,

X — р = v.

р — X =

С л е д с т в и е

12.10. Wwp&j =

X vw ,

З а м е ч а н и е

Следствие

12.10 является

част

ным случаем следующего утверждения.

Пусть

V —

ненулевой f-подмодуль Ьх. Тогда

VLX’ =

Lx+x-+p.

Действительно,

VLr d

Lx+r+P- Если

i|30 e

£_x- x'-p

аннулирует

VLX>,

то <рг|з0 EE /L X'

аннулирует

Lx>для

всех

ф 6= V,

откуда

фф0 =

0. В силу А-инвариаитно-

сти

V, для

каждого

к ЕЕ К существует ф ЕЕ V та

кой,

что ф (к) ф 0 .

результате

т|з0 =

следует

З а м е ч а н и е

Из

предложения

12.1

полнота системы модулей Ьх. Действительно, эта си стема содержит полную систему конечномерных под модулей *). В § 20 будет доказано более сильное свой ство «локальной полноты» для модулей Lx.

* * *

Рассмотрение элементарных G-модулей началось, по сущестпу, н известных работах И. М. Гельфанда и М. А. Иаймарка (см. [9]), где были построены и изучены унитарные представления

*) Полнота системы конечномерных G-модулей является следствием теоремы Петера — Вейля ([60], предложение 1.1).

классических матричных групп над полем С. Хариш-Чандра [991 обобщил эти результаты на все полупростые комплексные груп

пы Ли. Определение модулей D x в классе С°° (G) было предложе'

но автором [58J; дл яб = SL (2, С) оно совпадает с определением, данным в [81. В этой книге сделан ряд изменений в определениях и обозначениях с целью их согласования с терминологией тео рии представлений полупростых вещественных групп Ли. В част ности, вместо левого индуцирования рассматривается правое индуцирование (§ 10). Заметим, что в отдельных случаях это приводит к некоторым неудобствам в обозначениях (см., напри

мер, § 15).	Описание конечномерных подмодулей	было полу
чено в [52J.	См. также [12], [51]. Теорема 2 равносильна следую

щему утверждению (доказанному ранее Хариш-Чандрой). Мо

дуль Е-щ изоморфен фактормодулю М х ,			X =	^ + 6 1 р, + б, по
подмодулю,	порожденному элементами			вида	a (e_1)Xi+1- lx
6(e_i)*i’i+1-l ,	где 1Х — старший	вектор	М х	(образ 1 €Е U (flc )).
Относительно	описания левых	идеалов	в U (3°),		отвечающих
модулям Lx ,	см. [89].

Заметим, что теорема 2 позволяет рассматривать семейство элементарных представлений как «аналитическое продолжение» (по параметрам х) системы всех неприводимых конечномерных представлений группы G. В дальнейшем мы используем только следствия 12.8— 12.10 из этой теоремы, которые могут быть лег ко доказаны и независимо (см., например, замечание 4).

Ч А С Т Ь II

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Содержание части II связано, главным образом, с изучением, структуры алгебраических модулей L х. Однако изложение не

является чисто алгебраическим, т. е. в построениях (и в след ствиях) иногда рассматривается также топологический модуль D x . Основным результатом является изучение алгебры U в тер

минах операционного исчисления (гл. 6). Это позволяет, в част ности, дать классификацию всех неприводимых модулей Хариш-Чандры для алгебры U (§ 23). Отсюда, в свою очередь, сле дует классификация всех вполне неприводимых представлений группы G в банаховых пространствах. Результаты главы 6 можно рассматривать также как алгебраический вариант теории двойственности Фурье. (См. по этому поводу § 32).

Гл а в а 4. СПЛЕТАЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ

Вэтой главе дается конструктивное описание семейства сплетающих операторов для модулей D y . Некоторые из этих

операторов являются интегральными (§ 13), с классическими ядрами типа свертки (сосредоточенными на подгруппах в G). Более широкое семейство получается регуляризацией этих опе раторов (§ 14). Действие этих операторов связано с орбитами группы ГГ в классе сигнатур. В особых точках этого семейства возникает новая система операторов (§ 16), действие которой свя зано с орбитами ГГ X ГГ. Операторы этой системы являются ин

финитезимальными (порождаются действием U (gG)). Соответ ственно, операторы элементарных представлений удовлетворяют некоторым соотношениям симметрии относительно группы Вей ля (§ 17).

	§ 1 3 . Операторы А (т, х )
Пусть	W — группа Вейля алгебры	Определим
действие	группы W в классе сигнатур, полагая

w (р |q) — wp |wq, w EE W. Для каждого w EE W положим

Hu?=	0ca,	iiy, =	C^a,
a>0, ига<0			a>0, ura>0

и пусть N w, N w — аналитические подгруппы в N с ал гебрами Ли nw, uw. Пусть dn — мера Хаара на N w. Мы будем рассматривать интегралы вида

$'тф(;с) = ^ rp (xnm)dn, т€ЕМ', Nv>

где т — произвольный представитель класса w. Напомним, что $6 (Е , F) для каждой пары G-мо

дулей Е, F — множество всех непрерывных операторов из HomG (Е, F).

Положим аа (g) = а		(g)~a~p.
Л е м м а	13.1. Если	функция аа(пт) интегрируема
на N w, то	определен всюду на D x и содержится в

Ж(Dx, D wx).

До к а з а т е л ь с т в о . Для каждого ф ее Dx из

равенства	ф (хкап) = ф (хк) а~°~р		вытекает	оценка
I Ф (xg) I <	С (х) \|а„ (gr) \|,	С (х) =	max \|ф (хк)	\|, из
которой следует (при g =			/сек
которой следует (при g =		пт) существование и непре
рывность функции ф (х) =		ф (х).	Для каждого ком
пакта С Cl G имеем

max I ф (а:) I ^ max |ф (х) |• \ \aa(nm)\dn.

сСК .уW

Заменяя ф на шр, и Е= U (д), находим, что ф ЕЕ С°° (G)
и оператор	непрерывен в топологии С°° (G). Ясно
также, что	тперестановочен с левыми сдвигами на G.

Остается проверить, что	D x —*•D wx.	N w ~
Заметим, что, согласно	предложению 4.7,	N w ~
~ N IN W, и мера dn, ввиду нильпотентности N,		инва

риантна относительно движений однородного простран

ства Nw. Отсюда,			полагая п0п — пргг, пг GE: N w, п2 ЕЕ
ЕЕ Nw CZ mNm~1,			находим
ф (хп0) =		\	ф (хпрп) dni =		ф (х),	п0ЕЕ N.
Далее, пусть		Nw		Заметим,	что d (апа~г)
	а Е= А.						= aPwdn,
где pw — сумма		всех		корней из Aw =		{а	0: wa <
0}. Легко проверить, что					pw = р — wp.		Отсюда
имеем
ф (ха) =	§	ф (хпта) dn — ф (х)				в £ А,

Где положено	а =	т~хат (ах = awX). Аналогично про
веряется, что	гр (xh) = ф (х) hr'04,		h Gr М. Лемма	до
казана.	что	существование	интеграла	(а:),
Заметим,

Ф £Е Dx, зависит только от класса w (но не от выбора представителя т w).

С л у ч а й G = SL (2, С). Группа W содержит един ственный элемент ю ф е (умножение на —1 в ()с)> предста

вителем которого в М' является матрица т =

Полагая

" = (о l ) ’ 2 = Г<?* ’ dn = i rdrd<¥

и вычисляя а (пт), находим

			“	__i_ о
	^ аа (пт) dn =		^ (1 + г2)		l2	rdr =	- i- 5
	N		О
причем интеграл сходится при Re ст						0.	Следователь
но, условие леммы 13.1				при G = SL (2, С) равносильно
Re	ст > 0.	'
	Перейдем к рассмотрению общего случая.							l (w') +
+	Л е м м а	13.2.	Пусть w =		w'w", l (w) =			l (w') +
+	l (w”). Если функция			<p (xnm)	интегрируема на N w,
то
^ Ф М = М » . - ф М ,				т = т'т',		т ' е	w',	m "^w ",

при определенной нормировке меры Хаара на N w. В ча

стности, функция			ф (хп'т'п"т")		интегрируема	на
N W’ х	N W".				предложению	4.7,
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно					предложению	4.7,
N w=	NW'NW"	(диффеоморфное разложение), где поло
жено	N w” =	w'Nw’-w'*1. Имеем
^ ф(пт) dn =		^	ф(п’п'т'т") dn'dn" =
^w		NW,XiVyj-
			=	§	ф (n'm'ifm") dn'dn".
				Ny/XNyj»

Смотрите также файлы

Жунина, Л. А. Пироксеновые ситаллы.pdf

Завадский, С. Основы регионального планирования.pdf

Замарашкин, Н. В. Стабилизация следа затянутой обуви формованием.pdf

Зуев, В. Е. Лазер-метеоролог.pdf

Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно