Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

лучаем нужное утверждение при х =

е. В общем случае

заменяем ф (g) на ф (gx). Лемма доказана.

Положим fj„ =

{x e tjc : Re^a^>0 при a g A „ ) .

Л е м м а

13.3. Функция

аа (пт)

интегрируема на

N w тогда и только тогда,

когда а £= ()w.

При этом

^

аа (пт) dn — с0

or1,

с0 = const Ф 0.

Nw

аеАш

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Случай

w =

wt сводится

к случаю G = SL (2, С), рассмотренному выше (JVW. =

= N П

Gt — простая подгруппа

ранга 1, порож­

денная в G корнем а,). В общем случае применим ин­

дукцию

по

I (w).

Предложим,

что

функция аа (пт)

интегрируема на Nw. Согласно лемме 13.2, имеем

tymaa (е) =

^ fym»aa(n'm')dn',

т — т'т",

для всякого разложения w — w'w" такого,

что I (w) =

= I (w')

+ l (w").

Согласно

следствию 4.3,

это разло­

I (w) ф- I (w'), I (w) ф I (w")).

Для вычисления

внут­

реннего

интеграла достаточно

заметить,

что аа — ба­

зисный

элемент одномерного

подпространства

Laoz CZ

С Loa (Я'-инвариант

Z)oa).

Согласно

лемме

13.1,

f mLoa С

L°0,wc откуда имеем

f maa (х) =

Гоawa (х),

То = const,

получаем аналогичное выражение для

у:

То — со П (м,"°)э1 • П

=

со

П <3«1-

аеД№»

«едw

При этом, из сходимости повторных

интегралов и до-

пущения индукции, заключаем, что Re оа

0, а 6Е Дш.

Обратно, если это условие выполняется,

то,

заменяя

а3 (х) неотрицательной функцией aRe» {%)

=

|аа (х) |,

таа (е) существует. Лемма доказана.

С л е д с т в и е

13.4. Меру

Хаара

на

N w можно

нормировать таким образом, чтобы

N.W

Действительно,

р

для

всех

w ЕЕ W.

О п р е д е л е н и е

13.5.

Определим

оператор

А {т, х) как сужение

\DX:

N.w

при условии, что X = v

® о, о

bwt и мера dn норми­

рована как в следствии 13.4.

{x = v ® a :

a е f>w}.

Положим

также

2 u, =

Т е о р е м а

3.

Оператор

А (т,

%) определен для

всех х €Е

и содержится в Ж (Dx, D wx). При этом

Л (те,

%) =

А (т', гп"х)А (т", %),

т =

т’т",

(*)

для всех

т' ЕЕ w',

т" ЕЕ w"

таких,

что

I (w'w")

=

= I (u/) -f- l (if").

(Операторы

в правой части суще­

ствуют при х

2 Ш.)

З а м е ч а н и е

2. Пусть G0 — полупростая

под­

группа, нормально

вложенная в G,

М 0 — М

П ^о>

А 0 (то, Хо), т ЕЕ М 0,

— оператор симметрии, построен­

ный для группы G0. Согласно общему правилу инду­

цирования (следствие 10.7), имеем

А (то, х)

= А о (то, %0), т е

М 0,

где Хо — проекция

х на Ъо (Ьо — картановская подал­

гебра G0), и оператор А 0(т, %0) продолжается с й х, на

D x ~ Сдр (Dx0)

по правилу действия на значения век­

тор-функции

/

е= D x (/ (х) ее Z)Xo ~

Vx

в обозначе­

ниях § 10).

Из теоремы 3 получаем также

х) индуцирует

С л е д с т в и е 13.6. Оператор А (т,

гомоморфизм

д-модулей Lx, LwX и гомоморфизм J-моду­

цирует g-модульный изоморфизм 3 V,

X wv и f-модуль-

НЫЙ изоморфизм 3%, %W4-

Напомним (§ 11), что

~ £,х 0

Ex (v) (f-модуль-

части определяется по

правилу

£ ( £ 0 'п) = х £ 0

т|).

Отождествляя X j с

0

Ех (v) относительно ука­

занного изоморфизма,

получаем

о) в

П р е д л о ж е н и е

13.7.

Действие А (т, V,

определяется по правилу

A (in, v, а) (? 0

г)) =

1 0

ах (то, v, а)ц,

операторов ах (т, v,

а), К е

Л.

В частности,

положим

К = v+ и напомним,

что dim Ev+ (v)

— 1.

П р е д л о ж е н и е

14.1.

av+ (т, v, б) =

т • Д

+

|va |)-1 *)■

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ввиду

одномерности

2?v+ (v),

существует константа

е (ш, v,

о) такая, что

А (т, v,

а) ср =

е (ш,

v, о) ф??г_1,

ф ЕЕ i$v+.

Полагая,

в частности, ф0 = m\Q(g) |0,

где

£0 — нормированный

вектор Еv+ (v), находим

е (ш, v, а) = A (in, v, а) ф0(е) =

§ ф0(пт) dn,

m ^ w ,

где ф0 (ж), j e

G,— образ функции

ф0 E ^ v в прост­

ранстве

Lx, X =

v ®

а- Положим G =

SL (2,

С). Вос­

симметрическая степень представления (к)

=

к, нахо­

дим ф0 (к) = kh при v >

0, ф0 (к)

= iclj1 при v

0. От­

сюда, вычисляя а (пт),

к (пт), находим

&(w, v, о) = ^ (1 + г2)

— — (n-(-|v|)—1

IVI)-1.

2

rdr — (б +