Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

О п р е д е л е н и е

14.2. Положим

В{т, х) = П (ба + К | М ( т , X)

аеД•ш

при

X = v ® а> ^

(т >х) = В (т, v, о).

Соответствен­

но,

положим

(m, V, а) =

П (<3а +

|Va I)•аЛ (т, v, а).

аеАш

Согласно предложению 14.1, операторы

(m, v, a)

удовлетворяют условию нормировки

frv+ (m, v, a) = in,

тпееМ'.

Л е м м а 1 4 .3 . Операторы В (т,

х)

удовлетворяют

соотношению

В (т, %)

=

В (т \ /п"х)-5

(т", х)

(*)

ровки. Заметим, что В (е,

х) =

1.

Рассмотрим оператор В (т, %) в пространстве X v

(v — индекс %).

Начнем

с

рассмотрения

частных

случаев.

SL (2, С). Напомним, что X €Е N,

1°. С л у ч а й G =

v e Z , Х\ Ф (0)

при

X =

v (mod 2), |v |

X. Поло­

жим

х

ях (0) = П

(а — ft).

Г* (б) = Я* (о)/Я, (— б),

k—N1+2

В частности, л;х (ст) = 1

при X = |v|.

Л е м м а 14.4. Для группы G = SL (2, С) имеем

b1- (т, v, б) = (— l)1MX~M)-m -rx (а).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно лемме

11.8,

суще­

ствуют элементы и е= U, ф0£= $v+. ф б Ж )

такие,

что

цф0= ях (— а) ф, ифр = ях (б) ф',

соответствует ф >->• фго-1

в Хч)- Лемма доказана.

З а м е ч а н и е

1.

Непосредственное

вычисление

операторов

5х (го, v, о)

можно получить

по аналогии

с доказательством

предложения 14.1 — см. [47].

2°. С л у ч а й

w — wt. Фиксируем

и по­

ложим

B i(X) = В ( т и %), i =

l , 2 , ...,

I.

Пусть Gt — простая подгруппа,

порожденная корнем

«*, K t = К П Gt.

14.5.

Пусть

Хчг — градуи­

П р е д л о ж е н и е

ровка X v,

порожденная градуировкой

X

как правого

К г модуля,

е £Е N.

Тогда при ф (ЕЕХ,,г имеем

Bi (х) ф = (— l)Vs(e_to) г\„ (з{) Фть

в0= |Vi |.

но из сравнения интегралов А (гог, %) для G, Gt.

С л е д с т в и е

14.6.

Операторная

функция

В (го,

х) продолжается до рациональной функции

от

0 со

значениями

в Hom9(^ v, X wv).

При

этом

(*)

выполняется для всех т' , т" ЕЕ М '.

14.3, операторная

Действительно,

согласно

лемме

зующими B t (%),

г = 1, 2, . . ., /. Заметим, что, соглас­

но предложению

14.5,

3®. Д е т е р м и п а н т ы

(Д (w, v, о).

Фиксируем

й е А. Пусть

— градуировка Е }- относительно про­

стой

подалгебры

$а, порожденной корнем

а (е ЕЕ N),

rt =

dim {E'i р) Ех (v)). Положим

(tl, б) =

(иа) е,

е

я* (А , а) = JJ

(а, о).

аеА

dx (w, v, а) = с„я* (А+, б)/я£„ (Д+, Ц7б),

(**)

где константа

с0 Ф 0 зависит от выбора

базиса

(| с0 |= 1, если

базис ортонормирован). Кроме

того,

(w, v, а) = с0я* (A„„ б)/я* (Ди,, — о).

(***)

жению 14.5, при w = wt, г = 1,2, . . .,

/:

{wu v, б) = с*я* (сц, б)/я* (а{, — б),

|с* |= 1.

вых частей (**), (***)

вытекает из леммы 4.5. Предло­

жение доказано.

р е з у л ь т а т .

Положим при

4°.

О с н о в н о й

а е Д

( X е 2: % = V е 6,

6 * =

<за = I va I +

2k, А е N*} =

= { x e 2 : x = p|g,

paeN*,?aeN'}.

Для

каждого w 6= W пусть

© „ (©ш) — объединение

всех

©а, а е Д , (—а е

Лю).

Положим

s ; = s \ © ; ,

s : = s \ © ^ .

всем пространстве S v тогда и

только тогда, когда X €=

е

При этом В (т, у) е

Ж (© v, £>wv) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Первая часть теоремы уже

нию

14.8, условие

% £Е 2j„ необходимо для определен­

ности В (т, %) в

пространстве

X v.

Обратно, пусть

X е

2£. Покажем,

что В (т,

х ) е Ж

(£>v, S„,v).

Л е м м а

14.9.

£с./ш сгг ^

—

|v; |— 2 к, к £Е N*,

тао

(х) е

Ж (©V,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно предложению

14.5,

В г (/)

g= Hom9 (Жу, Хщч)- Для

проверки непре­

лп (г)

=

п8к (г),

бк(z) =

I z + к |/| ъ — к |.

k=i

Заметим,

что

8k (z)2 =

(1 +

t) (1 — i)_1,

где

положе­

но z =

х +

iy,

t — 2 кх (к2

х2 -j-

г/2)-1,

причем

6k (z)2

1 при х ^

0. Полагая а: > 0

и выбирая А0 на­

столько большим, чтобы 1 <

t

<; 1 — 1/m при к > к0,

заметим,

что бА(z)2 ^

1 +

2 mi,

i <

2 х/к.

Отсюда

в, (2)><

1 + Т

<

(1 +

Т - ) " “

=

( ^

)

‘”“ •

2 = о/2 и пользуясь

предложением 7.7, получаем не­

прерывность B t (у)

(при фиксированном у). В общем

случае

достаточно

воспользоваться

правилом

инду­

цирования (следствие 10.7).

Наконец, поскольку векторы J£v аналитичны (пред­

ложение

11.1),

то

из

включения

B t (у)

в

Н о т 9 ( 2 Ч,

следует включениеBi{%) в HomG (S v,

£>u,iV)-

Лем­

ма доказана.

1

полагаем w — w'w" •

В общем случае при I (w) i>

l (w) =

l (w') +

l (w"),

l (w)

l (w'),

Z(m) >

Z(w")

Если у GE S i, то, согласно лемме 4.5, %

Si», w"y GE

EE S i',

откуда, согласно (*), получаем нужное

утвер­

ждение. Теорема доказана.

С л е д с т в и е

14.10. Если

у ее 2i>

mo

оператор

В (т, х)

непрерывно обратим,

причем

в (т. Х)-1 = # ( т -1, тх ).

Положим S i =

S i n S i.

' С л е д с т в и е

14.11. Если

у ЕЕ S i, mo

оператор

В (т> %) является

топологическим

изоморфизмом Dx

на DwX-

Действительно,

у е

Si, юх е

Si-i.

Скажем, что сигнатура у вырождена по корню а,

если х е

@а-

всех

сигнатур,

ко­

Пусть

S" (S+) — множество

торые не являются вырожденными ни по одному корню

а > 0,

(а < 0).

класса

S° = S _ f)

S +

назовем

невы­

Сигнатуры

рожденными (эти сигнатуры не вырождены ни по одному

корню а Ег А).

14.12. (1) Если

х £ = 2 +,

С л е д с т в и е

то

опе~

ратор В (т, у) определен и непрерывен для всех т ЕЕ М '.

(2)

Если х £= 2

то В (т,

у)

— топологический изо­

морфизм для всех т еЕ М '.