Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 150
Скачиваний: 0
Рассмотрим такие сплетающие операторы более по дробно.
1. Пусть |
Z Xф — множество |
всех |
элементов |
z Ez U |
||
таких, что |
г53ф CZ 53*, |
где 33х — определяющий идеал |
||||
модуля D x (§ 10). |
15.1. |
Для |
каждого |
z (= |
Zxф |
|
П р е д л о ж е н и е |
||||||
пусть С (z, |
х) — сужение оператора z: ср н* <pz на |
мо |
||||
дуль D x. Тогда
С (z, х) ЕЕ Ж (Dx, Дф).
Доказательство очевидно (см. также § 12). Операторы С (z, %) (если они определены) удовлет
воряют мультипликативным соотношениям
|
С (z, |
х) = С (и, г|)) С (v, х) |
при z = |
uv, v (ЕЕ ZM. |
|||||||
Согласно |
следствию 11.5, |
множество |
Zx^ может быть |
||||||||
отлично |
от (0) |
только |
при |
х = Р |
I Ц, |
г|з = щр | w ' q , |
|||||
w , |
w ' |
W . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. В дальнейшем мы будем рассматривать только |
||||||||||
операторы, введенные |
в § 12: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Ei (%) = a(e_,)'Ч |
|
А (х ) = Ь(е_{)'^ . |
||||||
Эти |
операторы |
определены, |
соответственно, при р г (ЕЕ |
||||||||
6= — N*, |
ЕЕ — N*, г = |
1 , 2 , . . . / . Согласно предло |
|||||||||
жению 12.5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
А ( X ) е Ж (Dx, Ds.x), |
|
E i(х )ЕЕ Ж (Dx, D -x). |
|||||||
где |
|
положено |
Sj (р | g) = |
w tp |
\ q , |
s t |
( p |
\ q ) = p | |
|||
i = |
l , 2 , . . . , / . |
Реализация b |
S v имеет вид |
||||||||
|
|
|
Ci (X) = c (e_i)|Pil, |
|
Ct (x) = |
c (et)14*1*) |
|||||
(см. доказательство следствия 12.6). В пространстве
SC* = Ех (g) Ех (v) |
эти |
операторы |
действуют по |
правилу: |
|
|
|
Ct (X) (I ® т|) = i ® |
^ 'r i, |
(X) (1 ® |
г]) = | (g) 49ilTb |
Пусть Gj — простая подгруппа в G, порожденная корнем а г е 5. Согласно общему правилу индуциро
*) Во втором случае — с точностью до знака.
87
вания (§ 10), операторы Ct (%), Ci (%) индуцируются
операторами Сг (хг). Сг (%t), |
%i |
= |
Pt I ?г. группы б г. |
|||
3. Рассмотрим вначале действие операторов С; (%), |
||||||
Ct (х) в |
|
0, |
то операторы С% (х), |
|||
Л е м м а 15.2. Если p tqi ^ |
||||||
Ci (х) |
инъективны. Если p t < 0 , |
<7; < 0 , |
то эти опе |
|||
раторы сюръективны и имеют общее ядро: |
||||||
|
Ker Ci (х) = Кег Ci (%) = |
|
0 |
# |
||
|
|
|
|
«<|Pil+l9il |
|
|
где |
положено |
X vt — X v f] |
X1, |
Х г — градуировка |
||
X относительно правых сдвигов на элементы подгруппы |
||||||
Ki = |
К [~) Gi, |
е £Е N. |
Ядро |
операторов Ct (%), |
||
_ Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||||
Ct (х) было найдено при доказательстве предложения
12.11. |
Далее, поскольку Х ч — весовое подпространство |
||||||||||||||
eoi |
веса —v 4, |
то |
е0 = |
|vf|— минимальный |
из |
весов |
|||||||||
e0t, |
для |
которого |
X vz Ф (0). Если р;<?г <] 0, |
то |
е0 = |
||||||||||
= |
|pi |
— Qi |> Ipil + |
IQi |
li T- e. искомое ядро есть (0). |
|||||||||||
Если |
же pi < |
0, |
qt <_0, |
то е0 = |
|рг — qt |< |
|р г |+ |
|||||||||
+ |
I qi |, |
и |
Ci (х), |
Ci (х) — изоморфизмы |
X 4Z |
на |
|||||||||
X j—pp-i Е) Xv+q^(x^,£i соответственно, при е |
I Pi |
I + |
I <7г |
I- |
|||||||||||
Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
З а м е ч а н и е 1 . При G = SL (2, С) подпространство |
||||||||||||||
Кег |
Сг(х) — Кег S'; (х) |
совпадает с неприводимым ко |
|||||||||||||
нечномерным подмодулем Rp\q (см. конец J |
И). |
|
|
||||||||||||
|
З а м е ч а н и е 2._Оператор R t (х) |
= Ct (si%) Ct (%) |
|||||||||||||
совпадает с С,- (s*x) Ct (х) и кратен |
единице |
в |
Н е |
||||||||||||
действительно, при G = |
SL (2, С) |
имеем |
|
|
|
|
|||||||||
|
e+elr\ = |
е!е1ц = |
с0 |
ч |
|
(е — v + |
2j) •mr\, |
т |
М ’, |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
з=—р+1 |
|
|
|
|
|
|
|||
для |
каждого |
вектора |
ч |
|
ё £ ‘ (v), |
q — р = |
v, |
при |
р, |
||||||
q^> 0 , с константой с0 |
|
0 , зависящей только от р |
и |
||||||||||||
q. При этом, |
согласно лемме 15.2, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Кег Rt (х) = |
Кег С{ (х) = |
Кег С{ (%). |
|
|
|
|
|||||
4. Рассмотрим теперь операторы С ;(х ), Ct (%) в S v.
Л е м м а 15.3. Операторы Ct (х), Ci (х ) являются топологическими гомоморфизмами *).
*) То есть сохраняют свойство замкнутости (открытости).
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Воспользовавшись |
пра |
Видом индукции (§ 10)", ограничимся случаем |
G = |
|
= SL (2, С). Рассмотрим, например, оператор С = е+ и по |
||
ложим С* — el, Т = С*С. Как и в замечании 2, |
имеем |
|
Г = «(в)-1 в 2 „ |
e e N , |
|
причем t (е) = 0 при е < |р |+ |q |(индекс i опу скается), t(e) > б0> 0 при е > |р |-|- |q |. Следо вательно, оператор Т, индуцированный оператором Т в !D/Ker Т, имеет непрерывный обратный, т. е. Т — то пологический гомоморфизм. Из равенства
ТА = С* (СА), A C S ,
следует также, что С — топологический гомоморфизм (если А открыто, то СА открыто как прообраз ТА при непрерывном отображении С*). Аналогично рассмат
ривается С = в-. Лемма доказана.
З а м е ч а н и е 3. |
Оператор B t (%), |
определенный в |
§ 14, также является |
топологическим |
гомоморфизмом. |
Действительно, при G = SL (2, С) либо B t (%) — изо морфизм, либо пространство Dx / Ker B t (х) конечно мерно.
Операторы B t (%), Ct (%), Ct (х) мы будем называть
простыми рефлексиями по направлению а ;.
5. |
Д и а г р а м м а |
п р о с т ы х р е ф л е к с и й . |
Сформулируем полученные |
результаты в виде теоремы. |
|
Положим |
% = р |q, p e N * , j e N* (при фиксиро |
|
ванном i). Рассмотрим диаграмму отображений:
Здесь наклонные стрелки соответствуют отображениям типа Ci, Ci, по вертикали и горизонтали действуют опе раторы типа Bi.
Т е о р е м а 5. (1) Отображения 1, 2 являются то пологическими вложениями, отображения 3, 4 — нак рытиями.
81
(2)Каждая последовательность, образованная вер тикалью с одной из наклонных стрелок, точна (и оста ется точной с добавлением пунктира).
(3)Операторы Сг, С, можно нормировать таким образом, чтобы все замкнутые схемы в (А) были комму тативны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
(1) — следствие лемм 15.2, |
|
15.3. (2) Согласно предложении^ 14.5 и |
лемме 15.2, |
|
Кег Вг (х) в X v совпадает с Im Ct (Si%) = |
Im C% (st %). |
|
Согласно (1), то же верно |
в 35 v (образы |
замкнуты). |
(3) Коммутативность схемы, |
образованной всеми нак |
|
лонными стрелками, вытекает из замечания 2. Осталь ные замкнутые схемы будут коммутативны при умно
жении 1, 4 на подходящую константу X, |
с одновремен |
|||
ным умножением 2, 3 на X-1. Теорема доказана. |
||||
Для каждого |
модуля |
Е |
положим |
Е = F —»•Е0, |
если Е0 — подмодуль в |
Е, |
F = Е/Е0. |
Положим |
|
Дх = Кег Ci (ы?{х) = Кег А (и?а). |
||||
С л е д с т в и е |
15.4. |
В условиях диаграммы (А) |
||
Дщ.х = Дх—^ Дх,
где Fx ~ Da,х ^ 2)-х.
|
С л е д с т в и е |
15.5. В условиях диаграммы (А) |
|
|
|
Du = Ях—*•Ях, |
|
где |
R X~ R X, D x z^Fx- |
G = SL (2, С), то |
|
Dx |
С л е д с т в и е |
15.6. Если |
|
(DWix) является композицией |
двух неприводимых |
||
модулей.
Действительно, в этом случае модуль Fx неприво дим (следствие 11.9), модуль Rx конечномерен (заме чание 1).
З а м е ч а н и е 4. Операторы типа 1, 2 в диаграмме
(А) сопряжены операторам типа 3, |
4 относительно |
|||
формы <ф, ф> ((<р, ф)) |
в пространствах Dx- |
|||
З а м е ч а н и е |
5. |
Оператор Ri = |
CiCt — CiCt в |
|
диаграмме (А) совпадает с вычетом |
рациональной |
|||
функции Bi = В (mt, ф) в точке ф = Wi %. |
||||
6. |
В л о ж е н и я D x, -* D Xa. Пусть Х + — множе |
|||
ство всех сигнатур |
% = р \q, для которых Re q ЕЕ Ь+- |
|||
Опишем систему вложений для модулей Dx, % ЕЕ Х +.
90