Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

X, х' соседними,

х < х'>

если К = WP I ?> /

=

™'Р I 9.

Re р G §+, причем

(1) W = WaU>',

l(w) =

l (и/) + 1,

(2) (wp)aе

— N*.

П р е д л о ж е н и е

15.7.

Если

х ^

> то суще­

ствует вложение D x —> D*'.

Достаточно

рассмотреть

Д о к а з а т е л ь с т в о .

случай, когда элементы

х

х! являются

соседними,

в обозначениях (1), (2).

Пусть wa =

— приве­

денное разложение элемента wa- Положим

Са =

В (то, siu^x) Ci (и~гх) В (иг-1, х),

м е м ,

Заметим, что w = uwiv,

w' =

uv — приведенные

раз­

ложения с

одночленами

и,

v.

Поскольку % ge Х +, то

Re qa >

0

при а е= А+.

разло­

1) Поскольку то-1

— и - ^ и - 1 — приведенное

жение,

то

Au-i CZ Ац)-* (лемма

4.5);

тогда

то- 1Au-» CZ

CZ u>-1A№-i

=

— АшCZ А- . Отсюда

Re (wp)tз = Re

<

0

при

[3 e

Au-i.

Следовательно,

- %£= 2 „-i,

откуда

заключаем

(след­

ствие 14.11), что В (то-1,

х) — топологический

изо­

морфизм.

(wp)a £Е — N*,

по

ус­

2) Заметим, что (u~1wp)i =

ловию (2),

(и-1 q)i =

qa GE N*

(ос £Е А+).

Следователь­

но,

Cj (м-1%) — оператор

топологического

вложения

(теорема 5).

что

SiU-1x = vp |uq,

w- 1Au CZ A+

(из

f 3)

Заметим,

приведенности uv), uAu =

— Au-i GE А". Отсюда имеем

Re(z;p)Y = Rep„-iY > 0 ,

Re(u^q)^ = R e quy < 0 , y e

A4.

Следовательно,

SiU-1x 6E

откуда заключаем,

что

5 (то, SjU~2x) — топологический

изоморфизм.

Предложение доказано.

сигнатур

В частности, пусть Y + — множество всех

X — Р I <7£= -Х+

с

целочисленными

векторами р, q

(р, g е

Г).

Условие упорядоченности %

х'

Для пяры

X — юр |q,

х' — н^Р I ?

сводится теперь к

условию

w' ^

и?

(см.

конец §

4).

З а м е ч а н и е

6. Можно

показать, что

упорядо­

ченность в классе Х + для пар р \q,

р'\ q равносильна

упорядоченности,

введенной

в [38

для

элементов

р , р' GE fo. При этом условия

вложения для

модулей

D x (предложение

5.7) равносильны

условиям вложе­

ния для модулей М х алгебры ()С (см.

[38]).

Результаты этого параграфа имеют локальное зна­

чение. Следствием теоремы 5

является теорема 6 § 16

П р е д л о ж е н и е

16.1.

Операторная

функция

ег (g), g Ez G, удовлетворяет соотношениям

В (т , X)

(ё) =

етх (ё) В (иг, х),

(1)

где т (Е w — произвольный

представитель

класса w,

X — произвольная

сигнатура

класса

2 „,.

З а м е ч а н и е

1.

Система (1)

порождается под­

i = 1 , 2, . . ., 1.

%— ф, если сигнатуры %, ф

ле­

Условимся писать

жат на одной орбите

относительно группы Вейля

W

(ф =

w GE W). Из предложения 16.1

получаем

С л е д с т в и е

16.2. Если

у — ф,

х,

ф е 2 +,

то

ех эквивалентно еФ: е, — в ф .

С л е д с т в и е

16.3. Если сигнатура

у не вырож­

дена

(х ЕЕ 2°), то

ех — вф для

всех ф — х-

С л е д с т в и е

16.4. Если

Re а =

0

(ех — основ­

З а м е ч а н и е 2.

Система (1) означает, что ех (g)

является

инвариантом семейства преобразований

Т(т)

а(%) = В (т,

х)_1а(и>х) в (т, Х)> т е М ',

(X) (g) =

е-х (g) (х),

причем операторы

Ci {%),

(х) определены,

соответ­

ственно, при pi е

— N*, qt е

— N*.

Следствия этих соотношений были отмечены в § 15.

З а м е ч а н и е

3. Ввиду

непрерывности

операто­

на Э х © ,

(ф, ф) = <ф, ф>. Для каждого

а е= С(Э)

пусть а' (а *)

— сопряженный линейный оператор в Э

относительно формы <ф, ф> ((ф, ф)).

= — %,

П р е д л о ж е н и е

16.6. Положим

X* = — Я I — Р при х =

р

|q- Тогда имеем

в К

X)'

- в (т, Х'Г1,

в (т, х)* = В (т,

х Т 1-

С4(Х)* = С|(Х),

* = 1. 2........I.

Продолжая

билинейную

форму <ф,

ф> ((ф, ф))

на Э х ©%

получаем продолжения

операторов

является

элементом Ж (33%, 3)юу). Соответственно,

тож­

дества (1), (2) продолжаются на представления ех в

сопряженных модулях £Z5X-

=

З а м е ч а н и е

4. Скалярное произведение в

=

Ех 0

Eh (v) совпадает со скалярным произведением,

индуцированным из Ех:

((я <8>I), (ъ ®

Т])) =

(а, Ъ) (!\, л).

III.

Пусть U^x — весовая категория

алгебры U,

порожденная подалгеброй Е(§

3). Имеем

X, р е Л.

Для каждого и €Е

и каждой сигнатуры % = v ®

а

пусть и (х)

= и (v,

о) — соответствующий

элемент

Horn (Х^, Sft).

О п р е д е л е н и е

16.8.

Для каждой

пары орто-

нормированных векторов а, b ЕЕ Ех и каждого и е

U ^

определим эндоморфизм

иаЬ(у) £= Н о т (Е^ (v), Ех (v))

по

правилу

К

ь (X) П>

I)

=(и (х) (Ь (Е) л), (я (8) £))>

£ge£ x (v), t i e ^ v ) .

Пусть

F

— множество всех операторных

функций

иаЬ(у) при фиксированных

а,

ЪЕЕ. Еу\

Элементы /

е

€Е

являются полиномами от а (а — показатель у).

П р е д л о ж е н и е

16.9.

Множество

F

не

за­

висит от векторов а,

ЪЕЕ Ех.

что

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно заметить,

иса,ъ (х) =

(ис)аЬ(%)

для

всех

с е ( 7

(fc), и вектор

а цикличен в Е х относительно

U (fc).

Следовательно,

F xv- не зависит от а.

Аналогично, F ^ не зависит от Ь.

Предложение

доказано.

Положим /

(у) = /

(v, а) при % = v ® сг.

П р е д л о ж е н и е

16.10. Элементы /

е

F xvудов­

летворяют соотношениям

bx (т, v, a) /

(v, а) =

/ (wv, wa) b** (m, v, с),

m e

M '.

(3)

Доказательство следует из включения В (т,

v, а)

6Е

GE Hom8 (S5V,

5S„,V), т е ш .

Аналогично,

пусть

ct (v, а) — сужение

оператора

(е_;)|р*'

на

Ех (v)при

pt = V2 (ог + vt) е

—

N*,

сг (v,

°)

— сужение

оператора (ег)|9{| на

Е х (v)

при

qt -

V, (<Ti — V|) е

— N*.

е= iW

удо-

П р е д л о ж е н и е

16.11. Элементы /

влетворяют

соотношениям

Сг(V, <3) / (v, о)

=

/ (v — ftOj,

о + асц) с4(v, б),

(4)

Si (v, о) / (v, з)

= / (v +

а — д л ) с4(v, з),

(5)

г =

1,

2,

. .

/,

где,

соответственно, в (4), (5) поло­

жено pt €ЕЕ— N*,

qt £Е — N*.

Доказательство

очевидно *).

З а м е ч а н и е

5.

Уравнения (3) могут быть запи­

саны в матричной форме следующим образом.

Пусть

Для

каждого

фиксируем

т ЕЕ w.

ег — фиксированный базис в Ех (v); тогда е\ =

теь —

базис в Ех (w\).

Аналогично, выберем

согласованные

базисы в ЕР (v),

Е^ (wv).

выполняется

система

уравнений

bx ( u * , % ) f ( x ) = f ( w % ) b ¥‘ (w,x),

w < = W ,

(6)

где bx (w,

%),

(w, х)

— матрицы операторов Ьх (т, у),

ЬР (т,

%) относительно этих базисов. Согласно замеча­

нию 2 § 13, остальные уравнения (3) являются следстви­

ями системы (6).

Аналогично могут быть записаны уравнения (4) (5).

X•

IV.

Положим,

в частности, р, =

v+, где v — индекс

В

этом

случае

/ (х) £ Нош (£ ,+ (v), £ х (v)) ~

~ £ ^ ( v ) ,

поскольку

dim E*+ (v)

= 1.

Согласно

пред­

ложению

16.8 и условию нормировки операторов

В (т,

х)

(§14), имеем

в этом случае

b * ( m , x ) f ( % ) = f ( w x ) m ,

т < = М ' .

Пусть / j,

/ 2, . . , / г

— произвольный

набор элементов

из

F XP, г* =

п-к (v).

Фиксируем

произвольный

базис

в

Е х (\),

и

пусть

(Д, / а, . . ., Д ) — квадратная

Л