Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 138
Скачиваний: 0
и пусть Ф ;, Т ; — фундаментальные матрицы, которые соответствуют образующим cof (v, о). Умножая (6) на Pi (о) и суммируя по г, получаем в результате
/ (V, з) = S фг (V>°) Zi (V>°) (V>а)’ i
где Zj (v, а) — полиномиальные матрицы с элементами
из |
алгебры / v. Полученное |
равенство |
означает, что |
||||
/€Е |
|
Теорема |
доказана. |
|
|
|
|
С л е д с т в и е |
23.6. К ^ |
— модуль конечного типа |
|||||
над |
алгеброй |
I v. |
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е |
4. Если |
— свободный |
модуль |
||||
ранга |
(v), |
то |
— свободный |
модуль |
ранга |
||
пк (v) Пц (v), причем элементы этого модуля имеют вид
Ф гТ, где Ф, XF — фундаментальные матрицы /J, |
1^, |
ъ — квадратная матрица с элементами из алгебры |
/ v. |
В частности, это верно при v = 0 (предложение 21.5).
Теорема 15 именуется в [60] подготовительной тео ремой. С ее помощью будут получены основные резуль таты операционного исчисления.
§ 24. Основные результаты
До сих пор мы рассматривали только сужения опе раторных функций / (v, о) на фиксированный индекс v.
Суммируя эти результаты, получим полное |
описание |
||
категории Фурье FW. |
|
|
|
I. Р е д у к ц и о н н а я |
т е о р е м а . |
Напомним, |
|
что |
— множество. всех |
операторных |
функций |
/ (v, а) со |
значениями в Н от |
(№ (v), Ех (v)), удовлет |
|
воряющих уравнениям симметрии (3) § 20, (1) § 23. Условимся, что индексы X, р,, е, ё принимают зна чения в Л — Г Г) 1)+. Множество Л снабжается лекси
кографической |
упорядоченностью |
пространства |
^R. |
||
Следующая теорема содержит основную информацию |
|||||
о свойствах полноты категории Фурье. |
|
||||
Т е о р е м а |
16. |
Пусть jVX|A(е) — множество |
всех |
||
элементов / (v, в) из |
/'-I1, |
равных |
нулю при v + |
е. |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
N4 (е) = |
2 FX5F51\ |
(1) |
||
|
|
|
Ь<е |
|
|
137
Д о к а з а |
т е л ь с т в о . |
Элементы / |
(v, а) из Fxb |
||
обращаются |
в нуль |
при v+ |
б (действительно, |
v+ |
|
не является |
весом |
Еъ). Следовательно, |
/ (v, ст) = |
О |
|
при v+ > е > |
б, т. |
е. правая пасть (1) |
содержится |
||
в(е).
Докажем обратное включение. Пусть Ге — множест во всех v Е= Г, v+ <1 8, которые являются весами” Ех и ЕIх. Множество Г6 конечно и вполне упорядочено. При этом
Ге - Ге. U W e,
где е' — элемент Ге, непосредственно меньший е. Если такого элемента не существует, то обе части ра венства (1) равны 0. В общем случае пусть / (v, сг) —
произвольный |
элемент из N x'x (е): |
|
|
|
|||||
|
|
/ |
(v, |
ст) = |
0 при v + > е. |
|
|
||
Заметим, |
что |
/ (v, |
сг) |
является |
элементом |
при |
|||
v+ = |
е'. |
Действительно, |
если |
CTj = |
— |v ^ |— 2/, |
||||
/ е |
N*, |
то Pi, |
qt <= — N* для сигнатуры X = |
Р I Ч = |
|||||
= v ® ст. В этом случае |
(v — р гоц)+ > |
v + (см. лемму |
|||||||
15.2), и правая часть уравнений симметрии (1) § 23
обращается в |
нуль: |
ci (v, сг) / (v, |
а) = 0, i = l , 2 , . . ., I, v + = е'. |
Согласно теореме 15, существует элемент /' (v, сг) из множества F ^ ’F^11 такой, что / (v, ст) = /' (v, ст) при v+ = г’ , т. е.
|
|
/ ( V , о ) = f |
(у, е) (mod N^(e')). |
|
(Действительно, /' (v, ст) = 0 при |
v + > е'.) Полагая |
|||
z(v, |
ст) = |
/ (v, ст) — /' |
(v, ст), мы |
можем считать, ис |
ходя |
из |
соображений |
индукции, |
что |
|
|
z (v ,0)(= 2 |
|
|
|
|
|
5<е' |
|
Отсюда, |
ввиду определения f (у, |
ст), следует также, |
||
что / (v, ст) содержится в правой’ части (1). Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 1. Лексикографическую упорядо ченность в А можно заменить следующей упорядочен
138
ностью: К р, если веса Ех содержатся среди весов Е^. (Доказательство теоремы 16 остается неизменным.)
З а м е ч а н и е 2. Вместо лексикографической упорядоченности можно рассматривать также упоря
доченность |
по^ |
длине |
I К |= |
(л, Л),/2, |
) i £ А. |
Дейст |
||||||
вительно, имеет |
место |
|
24.1. Если |
v — вес |
Е\ |
|
||||||
|
П р е д л о ж е н и е |
|
то |
|||||||||
II v К |
I к ||, |
причем |v I = |
1 А I ^ v е |
W%. |
|
|
||||||
то |
Действительно, |
положим v £Е Л. Если v — вес 2?х, |
||||||||||
[} = |
% — v |
0. |
Отсюда имеем |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
М 2— II v f = (А. + V, К — V) > 0. |
|
|
|||||||
В |
случае |
равенства |
нулю |
имеем |
|
|Р |а = |
(А — V, |
|||||
А. — v) |
= — 2 (v, |3) ^ |
0, |
откуда Р = |
U, т. е. |
К = |
v. |
||||||
|
Используя это замечание, можно придать теореме 16 |
|||||||||||
следующую формулировку (см. [47]): |
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть Nr^ — множество |
всех элементов / |
(v, о) из |
|||||||||
JAiXтаких, |
что |
/ (v, о) — 0 при |v |> |
г, где г > |
0— |
||||||||
вещественное число. |
Тогда |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
N }; {X= |
2 j |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
W<r |
|
|
|
|
|
|
II.Т е о р е м а п о л н о т ы . Положим, в част
ности, е > |
s > ( 1. Тогда N ^ (е) = |
и равенство |
(1)означает, что j^v- (3 F'^x. Этим утверждается
Сл е д с т в и е 24.2. F^x = Jxv- для всех А, р ЕЕ Л.
Этот результат дает конструктивное описание кате гории Фурье Fxv-; каждый операторный полином / ЕЕ Er JЛ‘х является коэффициентом Фурье некоторого эле мента и £Е UxIх.
Сформулируем этот результат в несколько усилен
ной |
форме. |
Отождествляя, как и прежде, |
с про |
||||||||
странством |
Е А(g) Е к (v), |
положим |
|
|
|
|
|
||||
где .Мху. = |
Horn (Е |
Е А). |
Элементы р ЕЕ ПХ1Аявляют |
||||||||
ся |
операторными |
полиномами |
со |
значениями |
в |
||||||
Н о т (S& ^v), |
перестановочными |
с |
операторами |
сим |
|||||||
метрии В {т, |
v, a), |
Ci (v, |
а), |
(v, |
о), |
т е |
М', |
i |
= |
||
1, 2,. . . , |
I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
139
Семейство |
естественно наделяется |
структурой |
категории. Преобразование |
|
|
|
Ф: и .-*■и (%) 13% |
|
переводит £/х^ в П ^ и является морфизмом |
категории |
|
£/х^ в категорию |
Пх^. |
|
Согласно теореме 12, ядром преобразования Ф яв
ляется идеал |
UJy.. |
|
Положим Ux^ = UW/UJp. |
|
|
Т е о р е м а |
17. Отображение Ф индуцирует изо |
|
морфизм Ux^ |
на Пх*\ |
Для каждого а 6Е Е х су |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||
ществует элемент еа 6Е U (fG), |
который является орто |
|
гональным проектором на Со. (действительно, U (Iе)!J\ — полная матричная алгебра). Положим
|
U $ = |
eaU ^ e b, |
а £ Е Е х, |
ЬЕЕЕ^, |
|
|
|
где еь — аналогичный проектор в Е^. Если |
и GE £/Хь» |
||||||
то его коэффициенты Фурье имеют вид |
|
|
|||||
|
и0'Ь' = (а', а) (b, Ь') и, |
|
|
||||
где и = иаЬ (I а ! = |
||Ь|= |
1) |
пробегает FX^ = J^ . |
Соот |
|||
ветственно, |
Ф |
отображает Uab |
на П^ь" = |
eaUKlxeb |
|||
(х (£ 0 ц) = |
хЪ, (§) т) |
в |
a:eC/(SG)). |
Остается |
заметить, |
||
что Пх^ — сумма подпространств Поь •Теорема доказана.
Заметим, что |
Uxlx является |
правым |
модулем над |
||
алгеброй IIIх = ЦИ\ |
Из теоремы |
17 получаем |
|||
С л е д с т в и е |
|
24.3. |
Отображение |
Ф является |
|
изоморфизмом алгебры Цх на алгебру |
|
||||
|
|
Пх = |
Лк <8>/ х\ |
(2) |
|
где положено .М\ |
= |
Н о т (£’х, Е к). |
|
||
Алгебру Ux назовем алгеброй Хариш-Чандры. (Сог ласно предложению 3.6, эта алгебра содержит инфор мацию о неприводимых модулях Хариш-Чандры, со держащих лх.)
Следствие 24.3 позволяет исследовать структуру алгебры Хариш-Чандры.
140