Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

III.

И д е а л Uq.

Положим

в (1)

е = Я = р.

Для краткости введем

обозначение

/Vх = /Vxx (Я).

Элементы

/

-/Vх

выделяются

в

/ хх условием

/ (v, а) =

Onpnv+ =

X. Следовательно, N х — двусторон­

ний идеал в / хх. Из теоремы

16

получаем

С л е д с т в и е

24.4.

/Vх =

2

F™Fb>-.

5<Х

Соответственно, рассмотрим алгебру Хариш-Чанд-

ры Цх =

£/хх/17/х и положим

Uo =

S

U™(Usx/UJi).

(3)

8<Х

Ясно, что

Uq — двусторонний

идеал

в

Ux.

Пх =

Лх ®

/Vх.

Доказательство

очевидно.

С л е д с т в и е

24.5. Факторалгебра UX/UJ изо­

морфна

(3) Vx,

где /х — узловая

алгебра класса X:

h

= P(tc)Wx-

Действительно,

/ xx/iVx ~

1\.

З а м е ч а н и е

3. Указанная конструкция подска­

зана автору

работой Наймарка [80].

З а м е ч а н и е

4.

Аналогично

рассматривается

пространство

= J^/NXv-,

где

положено

Согласно теореме

16,

=

^ ^ Х5й 6(\ г =

min (х , р).

5 < е

Если X >

р,

то

изоморфно

идеальному модулю

/£, если

Я

р,

то R ^ — Я .

IV. Х а р а к т е р ы

U°. Пусть

U° — централиза­

тор f в U. Из

однократности

rcv+

в Lv„

следует ска-

лярность

операторов

г е ( / ° в

L

2ф = 2(-з)ф,

cpe2v+.

(4)

Пусть i?v — множество

всех

полиномов z (о) =

= z<,0<,0(v, a), z е

Е/°,

где

е0

— нормированный век­

тор

Ev+ (v)

(z (а)

— характер

алгебры

£/°

при каждом

о).

Имеем

Rv CI 1<\=

/,.

Т е о р е м а

19.

-ffv

=

Tv

(а) — элемент / v.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть /

Фиксируем

базис

ег,

г =

1,

2,. . . , «х,

в

А = v +.

Согласно теореме

13,

существует элемент и ёе £/хх та­

кой, что

иеi = f (о) ег + 2

ci(p)ei-

з+1

РгЗ^к

С /) ^ 4, 2, . . ., /2-х,

утверждают, что

равенство

= /v проверено ими

для всех простых

алгебр Ли.

L f n = N-,/Nl

Nx = U L t,

(1)

где N x — максимальный подмодуль

N x, не содержа­

щий Lx+. (Если % е 2°,

то

L“ ln = Lx.)

Согласно предложению

19.9,

при

х — Ф*

(2)

Т е о р е м а 20.

Z,“ ln

тогда

и только

тогда, когда % ~ ф .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

L™in ~

L™ln,

то

индексы х> Ф лежат на одной орбите относительно

W.

индекс х равняется индексу ф. Положим

% = v ® а,

ф = v ®

т,

ст, т е

(>с- Согласно (4) §

24,

имеем

z (а) = z (т),

z е

U°,

где z (а) =

2eoe„ (v,

о) — коэффициент

Фурье элемента

z (= If0.

Согласно

теореме

19, z (ст).

пробегает

=

= Р (fc)w.

Как

известно

(см., например,

[23],

стр.

222), алгебра

I v разделяет

точки

|)с,

принадлежащие

разным

орбитам W 4. Следовательно,

в

нашем случае

т = wo,

iv G

Wv

ф = w%.

Теорема

доказана.

дока­

З а м е ч а н и е

1. Вместо теоремы 19 в

этом

зательстве

можно

было бы

использовать

теорему 13

(равенство

Fv =

/„).

Рассмотрим

также неприводимые

G-модули £™tn,

введенные в §

19. Напомним,

что

d T r =

дх/дг,

где Rx — максимальный

замкнутый

подмодуль

R x,

о

Г V +

не содержащий Ьх .

19.9,

Согласно

предложению

d T

~ d T r

при

х — Ф-

Из теоремы 20

получаем

С л е д с т в и е

25.1. D'£in ~

Z)™in тогда

и

толь­

ко

тогда,

когда %

2. Результаты, полученные в § 24, позволяют те­

перь доказать, что имеет место

Т е о р е м а

21. Всякий

неприводимый модуль Ха-

риш-Чандры изоморфен одному из модулей L™ln.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть V — неприводимый

модуль Хариш-Чандры,

А,0 — минимальный

из

стар­

ших весов

А,

Л,

для

которых

Fx ф (0).

Согласно

предложению 3.6,

пространство

Fx° неприводимо

от­

носительно

алгебры Хариш-Чандры

U*0= U^°/UJia.

Ввиду минимальности

Ап,

идеал

tlo",

введенный

в

(3)

§ 24, содержится в аннуляторе F 4

Следовательно,

Fx°

является

неприводимым

модулем

относительно

алгебры

gx„ =

Согласно следствию 24.5,

ща х

®

где

—

полная матричная

алгебра

п>0.

Всякое

непри­

я0 =

. «>.0(g) d0,

где

d0 — неприводимое представление

(характер) 1\0.

Поскольку

/х0 =

Р (0c)Wxo — полная

алгебра

поли­

номов (§ 4),

всякий ее характер d0 определяется значе­

нием функции в точке

do (/)

= /

(з0),

б„ ^ По­

следовательно,

существует

сигнатура

(х0 =

А0 ®

0

сг0) такая, что л0 эквивалентно представлению алгеб­

ры

5х0

в

Lxl ~

(LIxtl0in)>1».

Согласно

предложению

3.6, F ~

L™0ln.

Теорема

доказана.

С л е д с т в и е

25.2.

Пусть т\ (F) — кратность

вхождения ях в модуль V. Если V — неприводимый мо­

дуль Хариш-Чандры,

А0 = min X: Fx Ф (0), то

т\ (F) <

«х (К),

шх0(F) =

1.

~

Z f n определяет

разбиение этих сигнатур на классы

эквивалентности

относительно W.

<7а

З а м е ч а н и е

2. Если ни одна из проекций ра,

в сигнатуре

% =

р |q не является целой (а ЕЕ А),

то

card ЗС (у) =

1.

Если, напротив, все проекции ра,

95х = г/о/г7о р| с//х )

sgx= jgX р цХ

Fi =

а ее F x: пЛ = (0)}.

Согласно предложению 3.7, F+ неприводимо относи­

тельно 95х. Если

Я0 — минимальный из старших

ве­

сов,

для которых

F x Ф (0),

то Э5о°

аннулирует

F+0,

т. е.

F+0 неприводимо относительно

©Ч Ввиду ком­

мутативности ©х°,

находим,

что F +0 одномерно.

Ос­

стве

теоремы 21, интерпретируется как

характер

алгебры U0.

G - м о д у л и .

Теорема 21

2.

Н е п р и в о д и м ы е

может

быть использована

для классификации непри­