Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

водимых представлений группы G в банаховых прост­ ранствах.

Примером неприводимого G-модуля является модуль

н ? а = « ж ,

щии L/х .

Для каждого непрерывного G-модуля Е пусть Е # — множество всех бесконечно дифференцируемых Х-фи- нитных векторов.

О п р е д е л е н и е 25.5. G-модули Е, F называют­ ся инфинитезимально эквивалентными, если G-модули

Е*, F* изоформны.

Вчастности, из теоремы 20 вытекает

С л е д с т в и е 25.6. Модули Hxin, /7™1п ин­ финитезимально эквивалентны тогда и только тогда, когда % ~ Ф-

финитезимально эквивалентен одному из модулей H'xin.

полно относительно естественной топологии (инду­ цированной пространством A (G, Е) всех слабо ана­ литических функций на G со значениями в Е, относи­ тельно вложения I I-*- 5 (g) = g% пространства Еш в Л (G, Е)). Следовательно, Еш инвариантно относитель­

Хариш-Чандры. Из предложения 3.8 вытекает (ввиду скалярности элементов Z (cjc), что F0 — финитный

*) Это доказательство следует идеям Хариш-Чандры [96J.

146

раняет силу для любого квазиполного локально выпук­

жения Ф |U ^ .

Остальное содержание этой главы соответствует работе [60], с добавлением § 25, результаты которого независимо получены в [13], [47^ —Отдельные фрагменты операционного исчисления встречаются в работе [89j, где рассматриваются характеры ал­

Как отмечалось в конце главы 5, построения работы [60] корректировались и упрощались в [13], [47], [63]. В частности, упрощения, найденные в [47], были использованы нами в §§ 13, 19, 20. С другой стороны, теорема 13 содержится в [47] в ка­ честве гипотезы (соответственно результаты § 24 излагаются,

в[47] при условии выполнения этой гипотезы). Таким образом,

вэтой книге впервые дается полное и систематическое изложе­ ние операционного исчисления (для полупростых комплексных алгебр Ли).

*) Достаточно требовать скалярность элементов Z (jj)x.

Ч А С Т Ь III

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Налагаемая ниже схема гармонического анализа позволяет свести описание образа Фурье для того или иного естественного класса функций на G к аналогичной задаче для классического ин­ теграла Фурье. Эта схема приложима к классам функций, кото­ рые являются (левыми) U-модулями и двусторонними К-модуля- ми, и основана на результатах главы 6.

При этом, в отличие от главы 6, условие односвязности G является излишним, т. е. G — произвольная полупростая ком­ плексная связная группа Ли.

Наиболее подробно, для иллюстрации метода, мы рассмат­ риваем алгебры X = С“ (G), ЭЁ — 2) (G), которые играют суще­

ственную роль в теории представлений. (В § 32 рассматриваются также другие классы функций.) Научение алгебры X является ос­ новой для исследования обобщенных функций. В главе 9 получен­ ные результаты применяются к решению задачи о классификации неприводимых представлений группы G.

составленной из А-финитных векторов двустороннего А-модуля X . Эта задача имеет прямую апалогию с операционным исчисле­ нием, с той разницей, что вместо полиномиальных матричных функций рассматриваются целые матричные функции экспо­

ненциального типа.

Интегральное преобразование Фурье (§ 26) позволяет сопо­

роль при изучении этих включений (§§ 27—29) играет тот факт, что (у -^ ) является модулем над полиномиальной категорией jW (ухР) гл. 6. Основные результаты главы собраны в § 29 и являются функциональными аналогами операционного исчис­ ления. В частности, теорема полноты (§ 29) дает эффективное

148

описание алгебры .<4#, двойственной к X * относительно преобра­ зования Фурье.

Существенно отметить, что при доказательстве этих теорем мы не пользуемся формулой обращения для интеграла Фурье

однозначно определяется своим преобразованием Фурье

(х = 0 х (%) = 0).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если х (х) = 0, то функ­ ция х (g) ортогональна (в L2 (supp я)) матричным эле­ ментам всех неприводимых конечномерных представ­ лений группы G (предложение 12.1). Согласно теореме Стоуна — Вейерштрасса, линейные комбинации этих

149