Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

I, n . v e A .

В частности,

X х =

А хх — подалгебра

в X,

Ах^ —

левый (правый)

модуль

над А х (А^). Легко проверить,

что (ех)* = ех относительно

инволюции

в Л

(G), от­

куда

(А^)* =

А ^ ,

%, р е а .

О п’р е д е л е н и е

26.2. Семейство подпространств

А х!х, X, р. ЕЕ А,

называется весовой категорией алгебры

X (относительно группы К).

Пусть

V — непрерывный

квазиполный G-модуль.

Соответственно,

V

является

М (С)-модулем

(§ 6).

Положим

Fx = e xF,

l e A .

Из определения проекторов ех следует

x V c v " ,

1 , ц е А ,

и X X^FV=

(0) при (х =f= v. Если

F — эрмитово дуаль­

ный модуль относительно формы (|,

ц), £ GE V, r\E=F,

то

(xl, г)) =

(|, х\),

х & Я

(G),

где х >-»- х* — инволюция

в Л (G).

Отсюда

следует,

в частности, что пары

(V\ F^),

А,,

н е Л,

образуют биортогональную систему в V X F.

В частности,

X xt\2!v d 3?х,

=

(0) при р ф е.

О п р е д е л е н и е

26.3.

Преобразованием Фурье

элемента х ЕЕ

называется

операторная

функция

х(%) =

х (v, а) =

сх (х) 13#

Фурье функции х как

элемента

и как элемента X.)

Из предложения 26.1 следует, что каждый элемент

х ее Х *!1 однозначно

определяется

своим

преобразова­

нием Фурье.

Рассмотрим

3°.

К а т е г о р и я Н а й м а р к а .

также

элементы

е\ъ — (?>

&Л) dk, £, т] ЕЕ Е .

ментов

группы

К следует,

что'

eliPab =

(а, Л) <?у>,

?, Л. а, Ь d

£ \

и также

е^ваь = 0

при А, Ф- р.

Положим, в частно-

сти,

\

\

at — весовой

ортонормированныи

ец =

еа<а3-, где

базис в Ех. Положим’

X tf =

elXe?,

i =

l , 2, . . . , n x,

/ =

1, 2, . . . , ^ ,

где

X

__

X

и

ч

=

ец — проектор, подчиненный

еА:

вх = е

ej.

j

Ясно,

что семейство

подпространств

Xij1 также

об­

разует

категорию.

26.4.

Семейство

подпространств

О п р е д е л е н и е

X if

назовем

категорией

Наймарка

алгебры

X.

групп)

рассматривались

в

работах

Наймарка

[19],

[79],

[80].

фиксируем индекс i0 —

i (А,)

Для

каждого X 6ЕЕ

Л

(= 1, 2,..., пх). Положим

^ =

i0 =

i(X), j0 =

i([i).

Каждому элементу х Е=

поставим

в соответствие

матрицу из элементов

Х Х]Х~ , М ^ ® Х ^ .

Доказательство очевидно.

По аналогии с §

20, ес­

4°. К а т е г о р и я

тественно ввести.

Коэффициентом

Фурье

О п р е д е л е н и е 26.6.

элемента х (ЕЕ Х Х1А называется операторная функция

хаь (X) = хаь (v. о),

определяемая

по

правилу

{хаь (X) л. I) =

(х (X) (Ъ®

П), (а (g) D),

%е

Ех (V),

TieE^v),

со значениями в Н от (Е^ (v),

Ех (v)),

где а,

Ъ— про­

извольные нормированные векторы Е\ EV-.

Пусть f ^ — множество всех коэффициентов Фурье

вида хаЬ, где х пробегает

Х х^,

а,

Ъ— фиксированные

векторы Ех, EV-.

26.7.

П р е д л о ж е н и е

Пространство

т

зависит от индексов о, Ъ. Семейство

образует

категорию:

\

f V

c

f

b , X, ц , V E A .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим,

что

е^т]

=

£

для

всех

г\ ее i?A.

Отсюда

следует

%a'b'

(*'aa'*^b'b)ab

для всех а', 6',

а, Ь и всех х ЕЕ -Х^,

т.

е.

не за­

висит

от а, Ъ.

Далее, из равенства

taO«c

=

2

*«ЬУЬ«.

! / Е Х ^ ,

ь

следует, что

(ху)ас е

f

Av.

Предложение

доказано.

О п р е д е л е н и е

26.8.

Семейство

f

=

Е

Л}

назовем категорией Фурье алгебры X.

=

Введем

инволюцию

полагая х*(%) =

х (%*)*, х*

=

v ®

(— о).

В частности,

—

алгебра с инволюцией.

Положим

= ваХе£,

=

ela, I а |=

1.

П р е д ло ж е н и е 26.9. Преобразование Фурье ин­

дуцирует

изоморфизм

Xah На tfW.

что

ж0»ь» =

Действительно,

легкопроверить,

=

(а, а') (b', Ъ) /

для

элементов

х е

X $ ,

где

/

=

=

хаЬ .пробегает

получаем

Отсюда, ввиду предложения 26.5,

С л е д с т в и е

26.10.

Преобразование

Фурье

ин­

дуцирует

изоморфизм

категорий

X ^ ^

J*Xv.®

f

Xl\

f

В

частности,

алгебра

X х

изоморфна

.М-х <g) $fx,

А =

f xK

с в о й с т в а о б р а ­

5°.

А н а л и т и ч е с к и е

з о в

о)

Ф у р ь е .

Для

оценки

поведения

функций

х (v,

введем

специальное

семейство

компактов

в

группе

G.

I g I; — норма

оператора

g е

G в

унитар­

Пусть

ном

G-модуле

Eli,

где

ег — фундаментальный

вес

9с

(§

1), i

= 1.

2,...,

I.

положим

Для каждого

r £ | t

Gr — {g €Е G:

In I g 1||i=

(г,

8|>,

i =

1 , 2 , .. . ,

1},

П р е д л о ж е н и е

26.11.

Преобразование

Фурье

х (v, о) элемента х ЕЕ X

является целой аналитической

функцией от а экспоненциального типа.

Если х

Х г,

то функция х (v, сг)

удовлетворяет оценкам

I апх (v, а) |

CneRc<r’ °>,

где |х I — норма

оператора

х :

(относи­

тельно

унитарной

метрики

в ©v), п = {пх, п2, . . .

/г,)

— произвольный

мулътииндекс

(иг- 6

N,

г =

= 1, 2,

=

а?'.

оценку

для

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Напомним

ную

при доказательстве предложения

10.1:

II е-.а(g) |<

max a (g_1/«)Re0,

где

a (g)

=

а — компонента

разложения

Ивасавы

g =

кап

элемента

g.

Заметим,

что

ах =

П (аЕ{)^.

Пусть ег — старший вектор Еч.

i

Тогда имеем (см. до­

казательство леммы 19.1)

а г Ч ё ) = IU ei K I| g [ | i ,

i = 1, 2 , . . . , Z.

Если

g£E6rr,

то

имеем

также

a (g- 1A)Ei

|

к |4=

= ||g_1||i^e<r’ Ei>. В

результате

i

IIX(v, а) I <

Со max max

Д

(а (ё~гк р )Кеа* < C0eRe<r>0>,

g€zGr ‘/cGif

где

положено

С0 = max

|a:(g)|.

Заменяя

х на

zx,

z 6Е Z (${),

получаем

е

аналогичную

оценку

для

+

z (v,

о) х (v, о)

= ср (р) х (v,

о),

где р = V2 (а

v),

Ф — произвольный

элемент

/ 0 =

Р (дс)^-

Полагая,

в частности,

ф (р)

= (р,

р ) т, находим

IM n *(v,a )| | < C meRe<^>,

m = 0, 1 , 2,. ..,

что равносильно указанным выше оценкам с

мульти­

индексами п = (тг1,

тг2,..., П[).

Предложение доказано.

С л е д с т в и е

26.12.

Коэффициенты

Фурье

/ (v, а) =■ xab (v, о),

х

Х Т,

удовлетворяют

оценкам