Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

||б”/ (v, a )| < C ne»>

где

| / 1

— норма элемента / ЕЕ Нога (Е^ (v), Ех (v)),

п = (rex, л2,

пг) — произвольный мулътииндекс (и,- ЕЕ

е

N, i

= 1, 2,

I).

| я (в )/(в )|< С явВв<'.«>, г е $ +,

(1)

целых функций): f(a) — р (а)

ф (а), то ф е

Z.

Определим действие группы Вейля в пространстве

Z, полагая ivf (а) = / (w~1a),

w ЕЕ W.

а ЕЕ I)с —

2. К а т е г о р и я

Пусть / (а),

где 2?, F — топологические

векторные

пространства.

Скажем, что /

—функция класса

Z

(класса Zr), если

</ (о) I, Ц) fe

Z ( е Z r)

для всех I

^

Е,

r\ ^ F ’ (F1 —

пространство, сопряженное к F).

— множество

О п р е д е л е н и е

27.2.

Пусть

Z (по а),

со значениями! в Н о т {Е*- (v),

^ [(v )),

удов­

летворяющих системе уравнений

bx (т, v,

б) / (v, о) = / (wv, м>о) Ь1*(m, V, о),

т е М\

(2)

Ясно,

что

yWJV-t J Xt,

Я, [A, e ge Л, т.

e. се­

мейство

J =

{J Xlx} образует

категорию. Из

предло­

ставлений (§ 16) следует, что §" a

т. е.

для всех

X, р е Л.

Определим инволюцию

->

полагая f*(%) =

= / (х*)*- В частности, 3 х =

£)хх — алгебра с инволю­

цией.

/ у Х 1 М

^ у Х у +

___

/ y V + X

«У V —

«У у

)

«У V —

С/ V '

•

Ясно,

что

семейство

£/Х1Х при

фиксированном v об­

разует

категорию.

В

частности,

5 х (J x) является

правым (левым)

модулем над алгеброй

Cfv = Cf? =

Z(f)G)w\

3.

К а т е г о р и я ,) к а к м о д у л ь н а д I.

Пусть

I — { / х^} — полиноминальная

категория, вве­

денная

в §

20.

Имеем

1,|i , v

e

A,

т. е. 3

является (левым)

модулем над / . (Аналогично,

J является правым модулем над /.)

В частности, имеем

ратная матрица из столбцов f t ЕЕ /*, i

=

2,. . . , г-,).

Если det Ф Ф 0,

то

такое

представление

возможно,

причем

h (v,

а) =

s (v,

cr)/det Ф (v,

a),

/ ( V , 3) = 2

фг (V>О) Ф( (V, а),

i

где фг (v, а) — столбец с

элементами из алгебры /У,.

номиальных) образующих модуля У*.

теперь

опе­

4. К а т е г о р и я

Рассмотрим

раторы дискретной симметрии (§ 15).

О п р е д е л е н и е

27.4.

Пусть’ tyw — множество

всех

элементов

/ е

Ух^,

удовлетворяющих

уравне­

ниям

Ч (v, б) / (V, б) =

/ (V —

О +

РгЩ) Ч (V, б),

д.

5i (V, о) / (v, б) =

/ (v + q{сц, б -

№ ) ct (v, б),

'Ч*i

i =

1, 2,...,

/, где р

|q =

v ® ст, т. е. р =

V2 (а + v),

9 =

V2 (о — v).

— категория и

модуль

над

J —

Ясно, что

= {/М*} (§

23).

27.5.

Пусть

— множество

О п р е д е л е н и е

всех

элементов

/ GE /УХ;\

удовлетворяющих

уравне­

ниям

Ч (v, <з) / (v, б) =

(v, б) / (v, б) =

О,

(4)

I = 1,2,. .

I,

Пусть

— множество

всех

су­

жений функций / (v, а), / е=

на

фиксированный

индекс v.

Напомним,

что

— J*v+ (§ 23).

Л е м м а

27.6.

=

I* Cfj$'

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Доказательство этой лем­

мы аналогично доказательству подготовительной тео­

ремы (§

23). Записывая элементы / Ез

в виде

/

(v,

а) =

Ф (v, a) h (v, a) Y

(v,

а),

где Ф, Y — фундаментальные

матрицы

модулей / х,

/*, соответственно, заметим,

что

это

представление

возможно

при det Ф Ф 0,

det 4я ф 0,

причем

h (v, о)

=

х (v,

a)/d (v,

о),

где положено d (v,

а) =

[det

Ф (v,

а)1Гх [det 'Р (v,

а)]г*1

и x (v, a) — матричная

функция класса

Z.

Повторяя

доказательство теоремы 15, находим, что х (v, о) де­

лится

на

я (о) =

[ях (v,

а)Гх [яц (v,

— ст)]Г!\

откуда

имеем

(о (v,

а) /

(v,

о)

=

Ф (v,

о) z (v, a) W (v, а),

где z (v, о) — матричная функция класса Z с элемен­

тами из

алгебры J v, со (v,

а),

определяется как в § 23.

Заключительная часть доказательства теоремы 15 по­

казывает при этом, что

/

(v >°)

= 2

ф г 0> °) Zi (V>°) T i (V- «).

г

где zt (v, о)

— матричные функции класса Z с элемен­

тами из алгебры j v. Полученное равенство означает,

что / е

Лемма доказана.

Из условий симметрии для

элементарных представ­

лений

(§

16)

вытекает,

что

CZ $"х,л

для

всех

X, ц Е1. А.

В

§ 29 будет показано, что

‘fW

=

для

всех X, ц ё Л.

м о д у л ь н а д У0.

5.

А л г е б р а J v к а к

Рассмотрим

вначале

алгебру

Z =

Z (^с)

как

модуль

над d 0 =

Z

теореме

Шевалле

[103]

(см.

также

§ 4),

Согласно

алгебра Р =

Р (jjc)

является

свободным

модулем

над

Io =

P (fc)w :

P = I0E ~

70(g) E,

(5)

где

E — ТУ-подмодуль P,

представление

в котором

эквивалентно регулярному представлению

группы W.

Су,

б сЕ" Д?

В ] == 2, . . . , п&,

где elj преобразуется

когредиентно

базисному вектору

е; представления б,

i — 1 , 2,.

. . , « 5,

при каждом фик­

сированном j =

1, 2,. . ., и5.

Пусть

@

— групповая

алгебра группы W. Согласно предложению 3.2, су­

ществуют элементы

s\ е= @, б ЕЕ А,

г =

1,

2,. . . , « 5,

такие, что

=

бjfeCy,

i, j , k

— i , 2

, . . . ,

щ ,

где 6i;- — символ Кронекера,

и

=

0

при б ф у.

элементам "еу с коэффициентами

из / 0. В

результате

получаем разложение

вида

/(3) =

2 С0у (б )4

(з),

(6)

8,i,j

/i (3) = 2

(3) 4 (з)

з