Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

норов elj (о))

такая,

что

Yкant (а) еЬ (о)

= d (a)

8rJ.

Отсюда

2

a w< (3 ) ftk ( з ) =

d (а) со-г ( з ) е 2

,

(7 )

/£

для

всех

б е= A, i,

г — 1, 2,. . . ,

щ.

Заметим,

что

d (а) ф 0.

Используя лемму 27.1, находим в результа­

те,

что

coy

Z =4 coy ЕЕ Оо для

всех

б £5 А,

г,

/ =

1 ,2 ,..., пъ. Разложение (6) означает,

что / €Е J 0£ .

С л е д с т в и е

27.8.

Z = О0Р.

Рассмотрим теперь

как модуль над О0.

С л е д с т в и е

27.9.

= J 0/ v.

Действительно,

J v CZ О0Р =4 Оv d O0! v,

и об­

ратное включение очевидно.

6.

Т о п о л о г и я в п р о с т р а н с т в е Z.

Пространство Zr при фиксированном г снабжается ло­

кально выпуклой топологией, определяемой полунор­

мами

тл (/) =

sup |я (a) / (а) |

(8)

а

I.

С ф е р и ч е с к о е

п р е о б р а з о в а н и е

Ф у р ь е .

Заметим, что f й является

образом Фурье

алгебры

Х° = {х е X: х (к^к2) = х (g), ки к2 е К)

(Х° — X 00 в обозначениях

§ 26).

Преобразование

Фурье в классе X й называется сферическим преобразо­

ванием Фурье.

Положим

ео(о, g) = (еоа (g) фо, ф о),

где фо — нормированный вектор Ж?. Функция е0 (a, g)

называется зональной сферической функцией.

Сфериче­

ское преобразование Фурье имеет вид

f(s) = j>x(g<

)e0(a,g)dg, х<= Х °.

(1)

Л е м м а

28.1. Отображение (к1г к%, а) >-*- к^к^1

яв­

ляется взаимно

однозначным отображением -

(К

х

X К)/М0 х

А +

на G,

где М 0 — диагональ в М

X М.

При этом.

dg =

у (a^dkydkzda,

(2)

Т («) = Т (ехР *) = П 2 sh 1 (т, а).

(3)

аед+

(б» 8)

(о, k±ak2 ) =

е$ (<т, а).

Положим со(а)=

(а,а), o

e f c Положим

а е Д +

S (о, т) = (о (б)-1

2 (det w) ехр <а, мгг>, а, т е Ь (4)

6 Д. П. Желобенко

161

е0 (о*» бхр т) =

S (о, x)/S (б, т),

т ЕЕ Or»

(5)

где б — полусумма

положительных

корней в ал1ебре

например, в [29], стр.

361. Заметим, что

S (б, т) =

со (б)'1 y (ехр т),

странстве

Or-

— В и н е р а

д л я а л

II.

Т е о р е м а П э л и

г е б р ы

X й. Напомним, что

У0 = Z (0c)w .

Следую­

щий результат

является аналогом классической тео­

ремы

Пэли — Винера для алгебры Х°.

П р е д л о ж е н и е

28.2.

Сферическое

преобразо­

вание

Фурье

является

топологическим

изоморфиз­

мом

Х° на J 0.

(В частности,

f 0 = J 0.)

следует,

что

х (g)

= х (k-pak^1)

= ф (т), где ф (т) =

=

х (ехр т) — функция

на

Or»

инвариантная

отно­

сительно W. Подставляя (2), (3), (5) в интеграл (1),

запишем этот

интеграл

в виде

/

(а) = и-1 $ ф(т) S (о, т) я|(т) dx,

(6)

где

положено

п =

card W ,

я (т) = у (ехр т),

dx —

евклидова

мера

на

Or, нормированная так, что da =

=

со (б) dx

при

а =

ехр т.

(Действительно, интеграл

метричности подынтегральной функции по W .)

Из

(4) имеем

со (а) / (а) = ^ ф(т) я (т) ехр <а, т> dx.

(7)