Файл: Айвазян, С. А. Классификация многомерных наблюдений.pdf

ходим Х ^ іп и Х^шахі соответствующие v2mln и ѵ2шах. Новое поощре­ ние и пересылку v2mln в ячейку делаем только тогда, если v2mln <; < vimin> а наказание и пересылку ѵ2шах в ячейку у2, если ѵ2тах >■

ные вероятности выбора признаков (я;) устанавливались различными в соответствии со значениями средней доли ошибочно расклассифицируемых наблюдений обучающих выборок (^/полученными отдельно для каждого из признаков, т. е. при р' = 1.

Число г подпространств, анализируемых на каждом этапе алго­ ритма, равно 10.

На рис. 4.8 изображена сходимость величины Ѵ;.тіп к vmln при различных видах поиска. На оси абсцисс откладывается суммарное число подпространств R, которые были рассмотрены к данному моменту поиска. Из рис. видно, что при поиске Ь3 понадобилось всего 4 группы (40 подпространств) для получения ѵш1п = 88 (а при методе 62 ■—120).

Этот эксперимент показывает целесоообразность применения данного метода для определения наиболее информативной системы при­ знаков.

В общем виде вопрос о выборе г и h не решен. Вероятно, что чем больше г и меньше h, тем больше вероятность получения Х^п и тем больше потребуется мащинного времени. Предполагается также, что с увеличением числа сочетаний выигрыш в количестве вычислений, который дает данный метод по сравнению с методом полного перебора, увеличивается.1

1 Заметим, что при неограниченном поощрении и наказании признаков де

исключена ситуация, в которой вероятность выбора некоторого признака щ окажется или отрицательной, или большей единицы.

Конечно, вероятность такого события очень мала (вследствие малости h и большого числа признаков), и, кроме того, в рассмотренных в работе [8] примерах показано, что на практике алгоритм сходится значительно раньше, чем вероят­ ность выбора какого-либо из признаков окажется близкой к 0 или 1. Тем не ме­ нее целесообразно ввести следующее ограничение: пусть 0 < Мх < М2 < 1, где Мг и М2 ■— некоторые заранее выбранные числа.

2 0 2

б) Последовательное рассмотрение отдельных признаков (метод Кендалла). В работе [25] предлагается метод построения наиболее информативного набора признаков, не зависящий от типа распределе­ ния. Рассматривается задача распознавания двух образов, т. е. реша­ ется вопрос, как зная 2 обучающие выборки из двух многомерных ге­ неральных совокупностей, определить, к которой из этих совокуп­ ностей относится некоторый элемент. Метод, которым решается зада­ ча, состоит в том, что признаки сначала упорядочиваются «по старшин-

I------1__ I__ I____I___ I___ I___ I___ I__ I____ I__ I____ I__ I____ 1___ I-----1-----

шающее правило, по которому по значению старшего признака неко­ торого элемента либо можно отнести этот элемент к одной из генераль­ ных совокупностей, либо перейти к следующему по старшинству при­ знаку. В случае, если после перехода к самому младшему признаку по его значению нельзя распознать данный элемент, задача остается нерешенной.

Рассмотрим пример: генеральные совокупности —это 2 сорта ириса: «Разноцветный» и «Вирджиния».

Берется по 50 цветков каждого сорта и делается 4 линейных из­ мерения специального вида (ширины лепестков и т. д.). Следуя [25], обозначим эти четыре признака через PL, PW, SL,

Данные измерений двух сортов ириса по 4 переменным приводятся в табл. 4.4.

203

Примечание. В каждом столбце по 50 значений, измерения производили с точностью до

0 , 1.

Используя табл. 4.4, составляем таблицу частостей по каждому из признаков. Так, в табл. 4.5 приведены частости для признака PL двух сортов ириса. Этот признак, как выяснится позже, является стар­ шим в данной задаче.

Примечание. В правой части таблицы приводится количество цветков, для которых из­ мерение по PL равно данному значению.

Из таблицы видно, что по переменной PL множества измерений цветков обоих сортов пересекаются на отрезке (4.5; 5.1); т. е. левее отрезка попадают только измерения «Разноцветного», правее только «Вирджиния», а внутри отрезка содержатся измерения обоих сортов. Обозначим этот отрезок через R Pl , а через N PL — число цветков обоих сортов, измерения которых по PL попадают вне отрезка R p l . Анало­ гично введем N s l , N p w , N s w - П о табл. 4.5 подсчитаем N PL, N P W, N S l и

признаком, PW — следующим по старшинству, так как Nsw и N sl <

<N PW и строим следующее решающее правило:

204

Всего элементов, которые нельзя распознать по PL, т. е. тех, для которых значения PL попадают в RPL,—37 (37 = 50 + 50—63). Выбераем эти элементы из табл. 4.4 и составляем для них по PW таблицу, аналогичную таблице 4.5, отражающую распределение частостей для 37 элементов, не распознанных по PL.

Затем находится Rpw, строится решающее правило по PW аналогично (*), определяется старший из оставшихся признаков.

После построения реша­ ющего правила для «са­ мого младшего» призна­ ка процедура распозна­ вания заканчивается. Элементы, которые нель­ зя распознать с помо­ щью такой процедуры, считаются неопределен­ ными. Этот метод очень прост: никаких вычис­ лений, кроме подсчета случаев, в нем не содер­ жится. Процедура рас­ познавания не зависит от вида распределений совокупностей; не тре­ буется никакой априор­ ной информации об этих распределениях. При применении процедуры выясняется, какой из признаков более инфор­ мативный в том смысле, по какому из них можно определить большее чис­ ло случаев. Если с по­ мощью такой процедуры

удается распознать очень мало случаев, рекомендуется перейти к но­ вым координатам. Попробуем наглядно пояснить смысл этой-реко­ мендации .

Изрис. 4.9видно, что R x(i) и Rx(2) велики, и по п р и з н а к а м и х<2> не удается распознать ни одного элемента. После поворота осей (пере­ ход к координатам у П) и г/(2>) получаем области А, В, С, D, в которых можно распознать элементы, и область Е — «область неопределен­ ности».

В общем случае предлагается переходить к координатам, совпада­ ющим с главными компонентами одной из выборок. Но вопрос о том, действительно ли при этом уменьшится число неопределенных эле­ ментов, не исследован. Естественным критерием качества такой про­ цедуры можно считать долю «неопределенных» точек по аналогии с долей ошибочно оаспознанных точек.

205

Г л а в а V

РЕШЕНИЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

СИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ КЛАССИФИКАЦИИ

ИСНИЖЕНИЯ РАЗМЕРНОСТИ

§1. ЭКСПЕРТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД

ѵ п о с т рЪе н и я н е и зв е с т н о й ц е л е в о й ф у н к ц и и

И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

1. Объект, его выходное качество и входные параметры. Понятие целевой функции

Пусть исследуемый объект (страна, предприятие, семья и т. д.) характеризуется неким «выходным качеством» у, которое апри­ ори обусловливается (не обязательно однозначно, детерминированно)

набором поддающихся учету ^^змеренцю .«входные параметров» x<'), ..., х<р>. Так, уровень общественного благосостояния страны у , по-видимому, в значительной мере характеризуется структурой и объе­ мом потребления различных благ и услуг хЧ>, х<р>х. Т о ч н о так же эффективность работы предприятия у определяется в основном со­ вокупностью таких входных параметров, как себестоимость продукции

исследования являются здания (жилые, производственные или админи­ стративные), а выходной характеристикой качества — величина, об­

географические и др.), либо должны быть приблизительно одинаковыми по всем

206

ности ее социально-экономического поведения, а входными парамет­ рами х(1), — характеристики структуры потребления различ­ ных благ и услуг. Перечень подобных задач представлен в табл.

оснащенно­ сти и т.п.)

*Без привлечения экспертов.

1В табл. 5.1 приведены лишь те из конкретных задач, подпадающих под описываемую здесь весьма общую и актуальную, с нашей точки зрения, схему исследования, с которыми мы в той или иной мере сталкивались в нашей практи­ ке. В ней не упомянуты, например, задачи промышленно-технического и медико­ биологического профиля, для которых данная постановка особенно естественна

иплодотворна.

2 0 7