Файл: Айвазян, С. А. Классификация многомерных наблюдений.pdf

226

•— применить «метод k - средних» и «метод потенциальных функ­ ций» (см. § 3 главы 3) для классификации городов в исходном простран­ стве и в пространстве сниженной размерности;

— с помощью экспертов (специалистов по экономической географии) получить контрольное («экспертное») разбиение исследуемой совокуп­ ности городов на однородные классы и произвести сравнение различ­ ных вариантов формального (машинного) разбиения как между собой, так и с экспертным разбиением;

— получить содержательные выводы произведенного численного анализа, позволяющие описать качественный и количественный состав основных однородных групп городов и выявить наиболее типичных представителей от каждой из групп.

2. Снижение размерности с помощью главных компонент

Анализ главных компонент вектора А' = (х^>, ..., х<32)), построен­ ных по выборочной корреляционной матрице размерности 32 X 32 (для экономии места эта матрица здесь не приводится), показал, что

первая главная компонента харак­

227

На рис. 5.2 представлены проекции исследуемых тридцатидвухмер­ ных точек-городов на плоскости двух первых главных компонент у О и г/(2). Анализ рис. 5.2 склоняет к мнению, что в данной задаче вряд ли можно ожидать достаточно явного распадения исследуемой сово­ купности точек-городов на четко выраженные «сгущения»», однород­ ные классы. Однако пять слабо выраженных сгущений мы все-таки можем условно наметить. На рис. 5.2 они обведены пунктирными

У®

линиями и обозначены с помощью 1° ~ 5° (нумерация классов не соответствует той, которая принята в табл. 5.6). Это дает нам первое (приближенное) представление о числе однородных классов (типов городов) и их составе.

3. Сравнительный анализ результатов классификации городов

Во-первых, наша выборка из 74 городов была предъявлена специа­ листу по экономической географии для разбиения на однородные (с его точки зрения) классы. При классификации городов эксперт ис­ ходил в основном из своих представлений о них и практически не ис­ пользовал данных, описываемых вектором признаков X ' — (х(1),..., л;(32)). Основными критериями, на которые ориентировался эксперт,

228

являлись промышленный и культурный облик города, его администра­ тивный статус.

В связи с этим эксперт не дал четкого разбиения всех городов на „однородные группы. Правда, число условных групп k, на которые, в конечном счете, эксперт счел возможным разбить предъявленные ему города, совпало с тем, которое мы ориентировочно наметили, анализируя рис. 5.5 (и в том, и в другом случае k = 5). При этом к пер­ вому классу эксперт отнес в основном шахтерские центры и центры химической промышленности. Ко второму — города с обрабатываю­ щей промышленностью и областные центры тяжелого машиностроения, к третьему — небольшие областные центры обрабатывающей про­ мышленности и областные центры тяжелого машиностроения, к четвертому— центры тяжелого машиностроения, химической про­ мышленности и города горнодобывающей и металлургической про­ мышленности, к пятому — несколько специфических, с его точки зрения, городов.

В табл. 5.6 приведены результаты разбиения исследуемой совокуп­ ности городов на заданное число k=b классов, произведенного восемью различными способами. При этом под номером 1 подразумевается эк­ спертный метод классификации, под номерами 2~5 — классификация методом потенциальных функций (№ 2 — по всем 32 признакам, № 3 — по первым двум главным компонентам, § 4 — по первым трем главным компонентам, № 5 — по первым пяти главным компонентам), под номерами 6~ 8 — классификация методом ^-средних (№ 6 — по всем признакам и при предъявлении «наблюдений» в том порядке, как они занумерованы в табл. 5.7; № 7 — по всем признакам при об­ ратном порядке предъявления «наблюдений»; № 8— по всем призна­ кам и при предъявлении городов в порядке: 38, 39,..., 74; 1, 2, ..., 37).

Как и следовало ожидать, формальные разбиения весьма хорошо согласуются с приближенным графическим разбиением, намеченным в плоскости двух первых главных компонент (см. рис. 5.2). Однако намеченные на рисунке классы 4° и 5° оказались, грубо говоря, объе­ диненными в один класс («класс 3») в экспертном варианте разбиения.

Проведенное исследование подтвердило также тот факт, что при сравнительно небольших объемах классифицируемых наблюдений (а у нас п = 74, при размерности р = 32!) результат разбиения, получа­ емого с помощью асимптотически «хорошего» метода k - средних, су­ щественно зависит от порядка предъявляемых наблюдений.

Чтобы не утомлять читателя, мы не будем приводить здесь резуль­ таты подробного сопоставления различных разбиений, произведен­ ного с помощью различного рода «расстояний между разбиениями» (см. § 4 главы 3), так называемых «таблиц сопряженности», крите­ риев у? и т. п.

4. Выводы и замечания

Классификация городов, произведенная с помощью различных ва­ риантов методов разбиения многомерных наблюдений на классы, не обнаружила естественного и достаточно явного разделения городов на

2 2 9

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

Вв е д е н и е

1.А н д е р с о н Т. Введение в многомерный статистический анализ. М., Физматгиз, 1963.

2.Д у б с о н М. С., С о р о к и н а С. Г., Т ю р и н Ю. Н. Об оптимальном выборе факторов в задаче множественной регрессии. — В сб.: Математические методы и модели в экономике. Вып. 3. М., «Наука», 1972.

3.Распознавание образов в социальных исследованиях (под редакцией Н. Г. Загоруйко и Т. И. Заславской). Новосибирск, «Наука», СО АН СССР, 1968.

4.Р о з и н Б. Б. и др. Группировка предприятий отрасли методами теории

распознавания образов. «Экономика и математические методы», 1969, т. V, вып. 3, с. 353—365.

5. . Ш у р ы г и н А. М. Выбор параметров для классификации двух нормаль­ ных совокупностей с равными ковариациями. — В сб.: Статистические методы классификации, изд. МГУ, 1969, с. 47.

3.Б л а г о в е щ е н с к и й Ю. Н., М е ш а л к и н Л . Д. Линейная класси­ фикация распределений с поверхностями постоянного уровня, состоящими из концентрических эллипсоидов. — В сб.: Статистические методы класси­ фикаций. Вып. 1. Препринт № 6, изд. МГУ, 1969.

4.К о л м о г о р о в А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М., Гостехиздат, 1936.

5.К о н а к о в В. Д. Непараметрическая оценка плотности распределения

вероятностей. — «Теория вероятностей и ее применения», Т. 17, № 2, 1972.

6.М е ш а л к и н Л. Д. Об одном методе эмпирического улучшения поло­ жения плоскости классификации. — В сб.: Статистические методы классифи­

тистические методы классификации. Вып. 1. Препринт № 6, изд. МГУ, 1969.

8.Р а о С. Р. Линейные статистические методы и их применения. М., «Нау­ ка», 1968.

9.Ш л е з и н г е р М. И. О самопроизвольном различении образов. — В сб.:

13.H e 1 1 m a n M. E. The Nearest Neighbor Classification Rule with a Reject Option. IEEE Trans. Sist Sei Cybernetics, 6, № 3, 1970.

14.L o f t s g a a r d e n D. O., Q u e s e n b e r r y C . P. A Nonparametric Esti­

mate of a Multuvariate Density Function. Ann., Math. Stat., 36, № 3, 1965.

15.M a c Q u e e n J. Some methods for classification and analysis of multiva­ riate observation. Proc. Fifth Berkeley Symp. Math. Stat. a. Probab., 1967, 1,

p. 281—297.

16. M u r t h у V. К- Nonparametric Estimation of Multivariate Densities with Applications. Multivariate Analysis, 1966, Proc. Intern. Symp. held in Dayton Ohio. June 14—19, 1965.

231