Файл: Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны.pdf

о

«) x(t) = Qt, 12 = 18 град\сек\ х (р) = ~j-\

в) х (t) = —~ , а = 8 град1сскг\ х (р) =

а) Поскольку АС является астатической первого порядка (у=1), пред­ ставим ее передаточную функцию в разомкнутом состоянии в виде

и установившиеся ошибки АС в типовых режимах, обусловленные воздейст­ вием х (t), будут равны:

127

Из уравнения (6.34) видно, что-эта-ошибка имеет смысл только при астатизме второго порядка, когда передаточная функция по ошибке (6.30) имеет в числителе сомножитель р2. При астатизме v<2 eyci{x{t) стремится к бесконечности, пропор­ ционально t при у— 1 и пропорционально t'2 для статических систем (\=0). Это следует из рассмотрения значений Е(р) для этих систем и из выражений (6.6) и (6.27).

128

воздействий x{t),y(t) и ошибок по ускорению еуС|( Л- it), показаны па рис. 6.4.

§ 0.3. ОШИБКИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ ВОЗДЕЙСТВИЯХ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК

Анализ точности автоматических систем в установившемся режиме может производиться с помощью так называемого ме­ тода коэффициентов ошибок. Этот метод применяется для вы­ числения установившихся ошибок АС, обусловленных как вход­ ным, так и возмущающим медленно меняющимися воздействия­ ми. Для выявления сущности метода коэффициентов ошибок рассмотрим случай, когда имеется только входное воздейст­ вие x ( t ), а возмущение f(t) = 0.

Пусть на -вход АС приложено воздействие x(t) произвольной формы, но достаточно плавной вдали от начальной точки про­ цесса в том смысле, что через некоторое время существенное значение имеет только конечное число г производных. Тогда по окончании переходного процесса (при t-+ со) в системе может возникнуть установившаяся ошибка еуст(^). которая определяет­ ся в соответствии с (6.2 а) через передаточную функцию систе­ мы по ошибке Е(р)

Величины D0, D u D2, ... называются коэффициентами оши­ бок по положению, скорости, ускорению и т. д. Они могут опре­ деляться согласно общему правилу разложения функции в ряд

производным. Слагаемые установившейся ошибки, вызываемые

астатпзма системы. Их можно определить одним из следующих

Процесс деления оканчивается в зависимости от потребного числа коэффициентов ошибок. Покажем, что коэффициенты

Произведя обратное преобразование Лапласа, найдем:

Сравнивая выражения (6.41) и (6.38), заключаем, что коэф­ фициенты в выражении (6.41) в точности соответствуют коэф-

130

фициентам ошибок Д,, Dv D.,, ..., Dr. Следовательно, коэффи­ циенты ошибок можно получить как коэффициенты в частном от деления многочлена А(р) на многочлен С(р).

Во-вторых, коэффициенты ошибок могут быть выражены непосредственно через коэффициенты характеристических поли­ номов, т. е. через параметры элементов АС.

Из выражения (6.39) следует:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р в выражении (6.42),’ находим:

j; D2\ceicl\=

(6.43)

Рекуррентная формула для определения любого коэффициен­ та ошибки Dr системы с любым порядком астатизма v имеет вид

(6.44)

Значения установившихся ошибок при типовых воздейст­ виях и первых коэффициентов ошибок для соответствующих членов ряда (6.41) г = 0, 1, 2 и систем с v = 0, 1, 2 сведены в табл. 6.1.

По известным коэффициентам ошибок и заданному закону изменения входного воздействия x(t) можно определить состав­ ляющие ошибки системы в установившемся режиме по положе­ нию, скорости, ускорению и т. д., а затем результирующую ошибку системы как сумму составляющих.

Найдем ошибку установившегося режима для системы (см. рис. 4.1) с

использованием коэффициентов ошибок в случае подачи иа вход воздейст- dt2