Файл: Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 111

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Условие устойчивости системы с.|>0, А|>0, Ао>0, А4>0, А<>0 для рас­ сматриваемого сличая имеет вид

<'i (са сг — с4 <а) — с0 cl > 0.

Подставляя вместо коэффициентов с/ их значения, получаем

10 (51 •104-0,225 — 2 -10- 5 - 10) — 90 (51 ■10~')! = 0,007 > 0.

Система устойчива.

 

Гл а в а

6

 

УСТАНОВИВШИЙСЯ

РЕЖИМ

В АВТОМАТИЧЕСКИХ

 

СИСТЕМАХ

 

В устойчивой системе

по

истечении

времени, достаточного

для затухания переходного

процесса

( f > £ p), наступает уста­

новившийся режим, характер которого определяется свойства­ ми (параметрами) системы и внешними воздействиями.

При анализе АС важно установить не только ее качество в переходном режиме, но и ошибки воспроизведения алгоритма функционирования в установившемся режиме.

Очевидно, что система в этом режиме будет тем качествен­ нее, чем томнее ею воспроизводится задающее воздействие, не­ сущее информацию о требуемом законе изменения управляемой величины, и чем сильнее подавляются возмущающие воздейст­ вия, нарушающие этот закон. В данной главе будет рассмотре­ но качество АС в установившемся режиме, определяемое ошиб­

ками воспроизведения полезных

(задающих) воздействий л'(^)

в виде регулярных (неслучайных)

сигналов.

§6.1. КРИТЕРИЙ КАЧЕСТВА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ. ТИПОВЫЕ РЕЖИМЫ

Качество работы любой АС определяется величиной ошиб­ ки, равной разности между требуемым п действительным зна­ чениями выходной величины е (t) = x(t) — y{t).

Основным критерием качества системы в установившемся режиме являются величина и характер изменения установив­ шейся ошибки:

еУс т ( 0 = Н ш г ( 0 .

(6 .1 )

Ошибка в установившемся режиме может быть определена либо путем непосредственного решения дифференциального уравнения АС, либо при помощи передаточной функции замкну­ той системы по ошибке.

117

В первом случае установившаяся ошибка определяется част­ ным решением е„ неоднородного дифференциального уравне­ ния ошибки (4.14), зависящего от вида правой части. Так как в устойчивой АС свободная составляющая затухает и общее решение однородного уравнения есв равно нулю, то

еуст(0 = lim s (t) = lim |гсв(0 -A sB(0! = Вт

Подставляя выбранное частное решение и внешние воздей­ ствия в исходное уравнение, можно определить установившиеся ошибки.

Во втором случае для определения установившейся ошибки используется теорема преобразования Лапласа о предельном значении оригинала.

В соответствии с этой теоремой ,

Нтг(^) = Нт/?г(/7)

(6.2)

( -*■ со

' р —0

 

и так как в соответствии с выражением (4.16)

уравнение ошиб­

ки относительно изображений при f(t) = О

(«5.2а)

г{р) = Е ( р ) х ( р ),

то установившаяся ошибка

 

 

Ахт (0 =

limрЕ{ р) х( р) .

(6.3)

 

р - о

 

Из выражения (6.3) следует, что ошибка АС в установив­ шемся режиме зависит от входного воздействия х (t) и пара­ метров системы, которые представлены передаточной функ­ цией Е(р).

Формула (6.3) может быть использована и для определения' установившихся . ошибок, вызываемых возмущением. В этом случае роль x(t) играет возмущение f{t), а вместо Е(р) сле­ дует подставить передаточную функцию по возмущению Е , ( р }.

Установившиеся ошибки АС обычно определяют

путем по­

становки их в типовые режимы.

В зависимости ог

характера

изменения внешних воздействий

рассматривают

следующие

типовые

режимы: статический, кинетический и равноускорен­

ный.

Статический режим — это установившееся

состояние А

1.

при постоянных значениях входного и возмущающего воздейст­ вий, который возникает в системе после окончания переходного

процесса,

вызванного

воздействием вида x{t) — а0 1 (t), где ао =

= const

0. Ошибка,

появляющаяся в установившемся стати­

ческом режиме, называется статической (ошибкой по положе­

нию) и обозначается ест.

Статическая ошибка характеризует

величину

отклонения y(t)

от x(t) в установившемся режиме

и может

быть определена

из переходной характеристики.

J18

2.Кинетический режим возникает в установившемся состоя

нии системы при подаче и а вход АС воздействия в виде x{t) —vt.

т. е. изменяющегося с постоянной скоростью dx = v = const—U.

'•'становившаяся ошибка, появляющаяся в системе в этом ре­ жиме. называется скоростной (ошибка по скорости) и обозна­

чается

еск-

 

 

 

 

 

 

3.

Равноускоренный

режим — это режим

установившегос

движения системы, обусловленный

подачей

па ее

вход

воздей-

 

,,,

at2'

 

 

 

 

 

ствпя в виде х (() = — , т. е. изменяющегося с постоянным уско-

 

d2x

 

о.

 

 

 

 

рением -.75- = а = const

 

 

 

 

 

dr-

 

 

 

 

 

 

Ошибка этого

установившегося

режима

называется

равно­

ускоренной (ошибка по ускорению) и обозначается еуск.

 

Во всех типовых режимах при определении установившихся

ошибок

действующие на систему

возмущающие

воздействия

/(f) необходимо положить постоянными fi (f)= /10=const,

/* (0 =

= fi$ =

const и т.

д.

 

 

 

 

 

Выбор указанных типовых воздействий не является случай­ ным, а отражает природу реальных внешних воздействий, при­

ложенных к

системе. Действительно,

воздействия x ( t ) u f ( t )

большей частью

представляют

собой

медленно меняющиеся

ciiriia.fbi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Под медленно меняющимисяпонимают

воздействия,

кото­

рые за время длительности

переходных

процессов

в системе

практически

не изменяются

или

изменяются

весьма

незначи­

тельно и могут быть аппроксимированы

достаточно

точно не­

сколькими первыми членами разложения в ряд Тейлора.

 

Предположим, что входное воздействие

x{t)

является мед­

ленно меняющейся

непрерывной

функцией и

характеризуется

тем, что при f <0

x(t)-~0, а при t> 0 x(f)=A0,

крометого,

имеет

все производные при t —0. В этом случае функция x(t)

може:

быть разложена

в степенной ряд:

 

 

 

 

 

 

 

 

х (f) =

х (0) -f х'

(0) t

х " ( 0 )

2

 

 

 

(6.4)

 

"21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученное

разложение

 

показывает,

что

составляющими

медленно меняющегося воздействия является совокупность рас­ смотренных выше воздействий:

а) скачкообразного х(0), соответствующего

сигналу х(/) =

= а0 1 (f);

х'(0)/ соответст­

б) изменяющегося с постоянной скоростью

вующего сигналу х (t) = vt~,

m

 

в) изменяющегося

с

постоянным ускорением

-V" (0) , соот-

 

 

at-

2!

ветствующего сигналу

4

 

0 - - 2- .

 

Таким образом, подстановка АС в типовые режимы позвг,- ляет определять ошибки в установившемся режиме не только в этих характерных для следящих систем режимах, но и в более общем случае произвольного внешнего воздействия д:(£).

§ G.2. ОШИБКИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ТИПОВЫХ РЕЖИМАХ

 

Ошибка системы,

обусловленная

рассогласованием

р(Л,

как было показано в главе 4 (4.15),

складывается из двух со­

ставляющих:

 

 

 

 

 

 

 

 

е (Р) = Е {р)х (р ) + Е} {p)f(p),

 

 

где

Е ( р ) х (/?) =

L (гл.(0)

— изображение

ошибки

по

зада­

 

Ef {p)f(p) =

L\s.f(t)\

ющему

воздействию;

.по

воз­

 

— изображение

ошибки

 

 

 

 

мущающему

воздействию.

 

 

Ошибка системы

относительно оригиналов

 

 

 

 

 

*(*) = *Д/) + 8/(0.

 

 

(6-0)

По методическим соображениям целесообразно раздельное рассмотрение этих составляющих ошибки в каждом из типо­ вых режимов.

Для определения

установившихся

ошибок

системы необхо­

димо найти значения

передаточных

функций

но ошибке Е(р)

при р-1-Q, что обусловлено

(6.3).

 

 

 

С этой целью определим значения характеристических поли­

номов А(р), Blp)

и С(р)

при р —0.

в статических системах

Как следует из выражения (4.8),

А (0) = 1,

В (0) =

/г0,

C(0) = A(0)-r 5(0) =

l + ft0.

Поэтому передаточные

функции по

задающему

воздействию

для статической системы при р-*-0 имеют следующие значения

Щ0)

5(0)

= *„;

Ф{ 0)

5(0)

__^0 _ .

 

А(0)

С(0)

1~\~&о’

 

 

 

 

 

 

5(0) =

А {0)

1

 

( 6. 6)

 

С(0)

1 + V

 

 

 

 

В астатических системах в соответствии с выражением

(4.8)

А (0) = 0;

В (0) =

С'(0) = А (0) +

5 (0) = К

(6.7)

120

Передаточные функции по входному воздействию астатиче­ ской системы при р-*-О

1Н0) = ^ -| | = - : ^ ( 0 ) = c W = l : £(0) = 0-

(6‘8)

Аналогично можно найти значения передаточных функций статической и астатической систем и по возмущению f(t).

Ошибки АС в статическом режиме

 

В соответствии

с приложением 1 изображение х (t)

= а01 (()

равно х(р) = ^ -

и ошибка по задающему воздействию

 

 

 

e,(2f) =

Z,-1{^ (/7 )-^ }.

(6.9)

Статическая ошибка по задающему

воздействию. С учетом

выражений (6.2) и

(6.9)

 

 

 

гст v (0 =

lim ед- (0 = lim рЕ (р)

= £ ( 0)а0.

(6.10)

Поскольку

по

/-ее

р-о

р

или от­

условию

«o = const¥=0, то наличие

сутствие в системе ФСТЛ.(£) зависит целиком от значения £(0). Системы, у которых передаточная функция ошибки по за­

дающему воздействию Е(р) при р-э- 0 равна нулю, называются астатическими по задающему воздействию. Системы, у которых £'(0)=0, называются статическими по задающему воздействию.

Статическая ошибка

но задающему

воздействию в соответ­

ствии с (6.6), (6.8) и (6.10) в астатической системе

в статической

:, = 0,

( 6. 11)

 

1

 

 

 

 

 

- С Т А - —

1 ■ U - 0>

( 6 - 1 2 )

Из уравнения (6.12)

видно,

1-Г«0

 

что величина ошибки по положе­

нию в статическом режиме при заданном значении «о зависяi от коэффициента усиления разомкнутой системы, причем ошиб­ ка тем меньше, чем больше величина k0.

Статическая ошибка по возмущению. Составляющая уста­

новившейся ошибки по возмущению

 

 

 

£/ (П ■= L

 

(6.1S)

где Ef (р)

А р) !

в А р)

— передаточная

функция ошибки

f(p)

С(Р)

 

 

 

по возмущающему воздействию, характеризующая участок си­ стемы между ее входом й'местом приложения возмущения fit).

121

Смотрите также файлы