Файл: Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны.pdf

Принимая во внимание, что г (t) = x(t) — у (t), найдем урав­ нение замкнутой системы:

Из приведенного примера видно, что из-за необходимости дифференцирования не только регулируемых величин, но и коэффициентов, уравнение системы значительно усложняется.

Обобщая полученный результат, можем написать для АС с переменными параметрами уравнение разомкнутой системы:

иуравнение замкнутой системы

пт

где с{ (0 = а1(0 + М0-

180

Если связи между звеньями с переменными коэффициента­ ми достаточно сложны и свертывание системы дифференциаль­ ных уравнении в одно уравнение может оказаться затрудни­ тельным, то преобразование методом подстановки заканчи­ вается на каком-либо промежуточном этапе и оставшиеся непреобразованными уравнения решаются как системы урав­ нении — методами численного интегрирования или моделиро­ вания.

§9.3. ИМПУЛЬСНАЯ И ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Всистемах с постоянными параметрами вид импульсной характеристики g(t) зависит только от параметров системы. Изменение (смещение) момента приложения единичного им­

пульса на входе на время т не меняет вид характеристики g(t — t) = g(t), изменяя лишь положение ее по отношению к на­ чалу отсчета.

В системах с переменными параметрами импульсная харак­ теристика g(t, т) зависит не только от параметров системы и характера их изменения, но и от момента приложения на входе единичного импульса т, так как за время т происходит измене­ ние параметров системы.

Импульсная характеристика для систем с переменными па­

нем, характеризующим изменение переменных коэффициентов.

Рис. 9.4

181

Графики изменения всех переменных коэффициентов зада­ ются с момента включения системы и тем самым устанавли­ вается однозначная связь между отсчетом времени t и значе­ ниями коэффициентов. Импульс 5(t — т), как показано на рис. 9.4, появляется спустя время т после начала изменения коэффициентов (включения системы).

Импульсная характеристика g{t, т) начинается в момент приложения импульса. Для системы с переменными парамет­ рами эта характеристика может быть изображена в виде по­ верхности, зависящей от двух переменных t и т.

Для фиксированного момента времени импульсная харак­ теристика может быть представлена плоским графиком (рис. 9.4). Такая импульсная характеристика называется со­ пряженной с аргументом т.

При отсчете времени от момента приложения импульса уравнение графика может записываться в форме £'(^см,т), при­ чем величина g((cu, "-) = 0, если tCM< 0.

При отсчете времени от момента начала изменения коэффи­ циентов уравнение графика записывается в форме g {t, т ), при­ чем g(t, т) — 0 при t < т.

В первом случае в скобках записан сначала интервал £см или его выражение через текущее время — т. а затем — мо­ мент приложения импульса т.

В зависимости от момента подачи входного единичного импульса форма графика импульсной характеристики будет изменяться.

Вид импульсной характеристики в физически осуществимых системах определяется соотношением:

Переходной характеристикой системы с переменными пара­ метрами называется реакция нестационарной системы на вход­ ной единичный ступенчатый сигнал.

Покажем связь между переходной и импульсной характери­ стиками для системы с переменными параметрами.

Импульс в момент времени т рассмотрим как предел раз­ ности двух единичных перепадов одинаковой высоты, различ-

182

ных по знаку и сдвинутых во времени относительно друг от дру­ га на Лт (рис. 9.5, б), т. е.

Используя принцип наложения, справедливый для линейных систем, процесс на выходе можно представить в виде разности

1

двух переходных характеристик с увеличенным в -д^- раз мас­

штабом:

Реакция на единичный импульс представляет собой им­ пульсную характеристику, а приведенный предел равен произ­ водной от переходной характеристики по аргументу т.

Таким образом,

т. е. импульсная характеристика системы с переменными пара­ метрами равна частной производной от ее переходной характе­ ристики по аргументу т (характеризующему момент приложе­ ния перепада или импульса), взятой с обратным знаком.

§ 9.4. ОБОБЩЕНИЕ ЧАСТОТНОГО МЕТОДА АНАЛИЗА НА СЛУЧАЙ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Методы исследования, обычно применяемые при анализе систем с постоянными параметрами, могут быть распростране­ ны и па системы с переменными параметрами, если для них определены некоторые характеристики, являющиеся реакциями на соответствующие типовые воздействия. Такими характери­ стиками являются переходная /i(t,x), импульсная g ( t , т ), амплитудно-фазовая АФХ W (/со, t) и передаточная W (р, t).

По аналогии с системами, имеющими постоянные парамет­ ры, частотной характеристикой системы с переменными пара­ метрами называют соотношение

ными параметрами является зависимость ее не только от часто­

где g{t, т) — импульсная характеристика АС.

Полагая амплитуду входного сигнала равной единице Х=1,

184

зависят от характера приложенного к системе воздействия. Это обстоятельство позволяет с помощью передаточной функции и частотной характеристики находить реакцию системы на лю­

Вследствие линейности системы с переменными параметра­ ми и применимости к ней принципа наложения воздействие (9.23) вызовет изменение переменной определяемое выра­ жением

Уравнение (9.25) по форме аналогично соотношению, связы­ вающему выходное и входное воздействия системы с постоян­ ными параметрами:

Эта аналогия, а также тот факт, что в уравнении (9.25) ве­ личина t играет роль параметра, позволяют заключить, что

185