Файл: Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны.pdf

по известному значению Ф*(г) и разложив его в степенной полипом по г путем деления числителя на знаменатель, получим ряд, в котором коэффициенты при z в обратных степенях будут соответствовать ординатам переходной характеристики h [/г] для моментов квантования «я».

_______ kvjz________

zs- ( ‘2 - kv T)z ■( 1 - kvT) '

Подставив числовые значения kv и T и разделив числитель па знамена­ тель, получим:

График переходной характеристики для рассмотренного примера изобра­ жен на рис. 10.19. По графику переходной характеристики определяем пока­ затели качества переходного процесса автодальпомера: процесс колебатель­ ный, а -20% , / р= 1 ,7 Т, fy=0,8 Т, /1 = 1.

218

§ 10.7. УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Для ИАС, так же как и для непрерывных систем, прежде чем строить кривую переходного процесса и определять каче­ ство системы, часто бывает необходимо установить, устойчива данная система или нет.

Чтобы исследовать ИАС на устойчивость, необходимо про­ анализировать характер изменения свободной составляющей yc„[/ij выходного воздействия замкнутой системы у[п], которое может быть представлено в виде

Если с течением времени усв[п] стремится к нулю, т. е.

Для выявления характера изменения свободной составля­ ющей выходного воздействия у св[/г] достаточно исследовать однородное разностное уравнение замкнутой системы

полученное из общего разностного уравнения (10.14), считая его правую часть равной нулю, а постоянные коэффициенты с равными:

Найдем условие устойчивости импульсной системы.

Пусть решение уравнения (10.52) существует и может быть представлено в виде:

уее \п\=гп\

Усв[я+1] = гп+|;

219

Подставим предполагаемое решение (10.53) в уравнение

(10.52):

Разделив левую и правую части (10.54) на 2 ", получим:

Уравнение (10.55) называется характеристическим уравне­ нием замкнутой импульсной системы. Пусть корни характери­ стического уравнения (10.55) равны zlt г2, ..., zk. Тогда уравне­ нию (10.52) удовлетворяет решение

Отсюда условие устойчивости ИАС может быть сформули­ ровано следующим образом: импульсная система будет устой­ чивой, если корни характеристического уравнения замкнутой системы (10.55) будут лежать внутри круга единичного ра­ диуса.

Геометрически это условие устойчивости ИАС может быть изображено так, как показано на рис. 10.20. На рис. 10.20, я все корни уравнения расположены внутри круга единичного ра­ диуса, поэтому ИАС является устойчивой. Из рис. 10.20, б вид­ но, что условие устойчивости нарушено и ИАС неустойчива.

220

Известно, что условие устойчивости для непрерывных систем заключается в расположении корней характеристического урав­ нения замкнутой системы в левой части комплексной плоскости корней.

С целью использования критериев устойчивости непрерыв­ ных АС для исследования устойчивости импульсных систем в характеристическом уравнении НАС (10.55) производят заме­ ну переменных

W + 1

(1 0 .5 8 )

2 W— 1

в результате чего условие устойчивости (10.57) приобретает вид

W+1

вой полуплоскости. Это позволяет преобразовать условие устой­

Заменяя в характеристическом уравнении (10.55; перемен­ ную г на W в соответствии с (10.58), получим характеристиче­ ское уравнение в виде

221

Умножая левую и правую части (10.61) на (№—1)* , полу­ чим уравнение, называемое преобразованным характеристиче­ ским уравнением

Таким образом, условием устойчивости ИАС можно считать расположение всех корней преобразованного характеристиче­ ского уравнения (10.62) замкнутой системы в левой части плоскости корней W , т. е. отрицательность вещественных частей его корней (рис. 10.22,6).

Благодаря применению ^-преобразования все критерии устойчивости непрерывных АС могут быть использованы для анализа устойчивости импульсных систем. Часто для определе­ ния устойчивости ИАС используется алгебраический критерий Гурвица.

Критерий Гурвица для ИАС может быть сформулирован следующим образом.

Для того, чтобы замкнутая импульсная автоматическая си­ стема была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при ck~> 0 все k определителей Гурвица, составленные из коэффи­

циентов преобразованного характеристического уравнения си­ стемы k-й степени (10.62), были больше нуля.

222

где с, = 1, с „ — kv 7— 1.

Произведем подстановку (10.58) и полученное уравнение

Согласно следствию из критерия устойчивости Гурвина для того, чтобы система, описываемая уравнением до второго порядка, была устойчива, не­ обходимо и достаточно, чтобы все его коэффициенты были положительны,

т. е. чтобы с j > 0, с0>0.

Условие Cj = A.a7 > 0 выполняется всегда, так как и коэффициент усиле­ ния kv и период повторения 7 — величины положительные.

Условие с 0 = 2 —£.а7,>0 можно представить какАа7<2. Отсюда следует, что исследуемая система устойчива только тогда, когда значение импульсно­ го коэффициента усиления kv = kv T не превышает значения 2.

Устойчивость НАС зависит от коэффициента усиления си­ стемы k и периода повторения импульсов Т. Для обеспечения устойчивости и увеличения запасов устойчивости следует умень­ шать эти параметры. Влияние коэффициента усиления k на устойчивость ИАС такое же, как и в непрерывных АС. Отрица­ тельное влияние увеличения периода повторения импульсов на устойчивость объясняется следующим: чем больше период повторения импульсов, тем больше запаздывает информация об ошибке в системе, тем больше инерционность системы.

§ 10.8. УСТАНОВИВШИЙСЯ РЕЖИМ ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Качество ИАС в установившемся режиме, так же как и ка­ чество непрерывной системы в этом режиме, характеризуется установившимися ошибками.

223