Файл: Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 80
Скачиваний: 0
Если передаточная функция № (р) известна п известно вход ное воздействие в форме х(р), то, пользуясь обратным преобра зованием Лапласа, можно определить закон изменения выход ной величины:
преобразование изображения в оригинал.
Выражения (2.3) и (2.4) подтверждают, что передаточная функция описывает только свойства системы или ее элемента вне зависимости от того, какой сигнал подан на их вход. Это позволяет, во-первых, по виду передаточной функции элемента определить его тип и свойства, а, во-вторых, пользуясь уравне нием (2.4), получить выражение для выходного воздействия при любом заданном входном воздействии.
Кроме того, как будет показано ниже, зная передаточную функцию, можно найти все динамические характеристики АС и ее элементов.
Передаточная функция, наряду с дифференциальным урав нением системы или элемента, является их основной характери стикой и позволяет непосредственно определить многие их ■свойства.
§ 2.2. ЕДИНИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
Для анализа динамических свойств автоматических систем и их элементов, кроме метода передаточных функций, применя ются методы стандартных воздействий. Для этого стандартное воздействие x{t) подается на вход систем (элемента), а дина мические свойства системы (элемента) определяются по ее реакции на это воздействие, т. е. по виду выходного воздей ствия у (t).
В практике применяются следующие стандартные (типовые) входные сигналы, отражающие различные стороны случайных входных воздействий: единичная функция (единичный пере пад), единичный импульс, гармоническое колебание, степенные функции времени:линейная x(t) — At, квадратическая x(t) — At2,
кубическая |
x(t) = At3. |
|
|
Единичной функцией называется функция, которая при всех |
|||
значениях |
времени t< 0 равна нулю, в момент |
времени £ = 0 |
|
изменяется |
скачком на конечную |
величину, равную единице, |
|
и затем (при t > 0) сохраняет свое |
значение (рис. |
2.1 — сплош |
|
ная линия). |
|
|
|
Единичная функция записывается в виде |
|
||
Иногда рассматривается единичная функция, которая по
дается на вход элемента или системы с запаздыванием по отно24
тению к моменту начала отсчета |
на время, равное т |
(рис. 2.1 — пунктирная линия). Такая |
функция записывается |
в виде |
|
|
(2.6) |
В качестве единичного воздействия может рассматриваться, например, подключение пассивной электрической цепи к источ нику постоянного напряжения.
Переходной характеристикой h{t) называется реакция (сиг нал на выходе) системы или ее элемента (при нулевых началь ных условиях) при подаче на их вход единичной функции.
Реакция системы (элемента) или процесс ее перехода из со стояния, когда входной сигнал равен нулю х=0, в состояние, при котором он становится равным единице х —1, полностью определяется решением дифференциального уравнения (2.1) при подстановке в его правую часть единичной функции. Поэто му аналитическое или графическое решение уравнения (2.1) для данной системы (элемента) и будет ее переходной характе ристикой (рис. 2.2). Таким образом, если х (t) = 1 (t), то V (£) =
X{t)
ос
Рис. 2.1
х ш
Щ У
t
О |
о |
вход СИСТЕМА выход
Рис. 2.2 |
2Ь |
§ 2.3. ЕДИНИЧНЫЙ и м п у л ь с и и м п у л ь с н а я
ХАРАКТЕРИСТИКА
Единичным импульсом (или 6-функцией) называется им пульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой дли тельности. Площадь, ограниченная графиком этой функции, равна единице.
Единичный импульс записывается в виде
j |
0 |
при t Ф 0; |
||
1 |
со |
при |
t = |
(2.7) |
0. |
||||
Причем |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
j о (() dt = |
1. |
(2.8) |
||
При включении такого сигнала с запаздыванием по отноше нию к моменту начала отсчета на т функция записывается в виде ,
( 0 |
при |
|
(2.9) |
0 [t — т) = I СО |
при |
t —;т. |
|
Причем |
|
|
|
j t(t — -)dt = \. |
( 2.10 |
||
Математически единичный импульс выражается как произ водная от единичной функции:
г(0 = -^-П (0]. |
(2.П) |
Производные от 6-функции по'времени о' (t), о" (t), о'"(7)...
называются импульсными функциями 1-го, 2-го, 3-го... порядка.
Импульсной переходной характеристикой (функцией веса) g(t) или g ( t — т) называют реакцию системы (элемента) при нулевых начальных условиях на единичный импульс (рис. 2.3).
Таким |
образом, если х (t) |
= |
о (t — с), |
|
то |
' |
|
£- “(О-* |
|
|
У ( * ) |
= |
• |
Поскольку единичный импульс есть производная от единич ной функции (2.7), то реакция системы (элемента) на единич ный импульс (т, е. импульсная характеристика) является про изводной от реакции системы (элемента) на единичную функ цию (т. е. переходной характеристикой):
26
о |
t |
|
ВХОД |
В ЫХ О Д |
|
|
СИСТЕМА |
|
|
Рис. 2.3 |
|
g (0 = |
ИЛИ h (t) = j g (t) dt. |
(2.13 |
Следовательно, зная |
переходную характеристику |
системы |
(элемента), можно найти ее импульсную характеристику и на оборот.
Импульсная характеристика, так же как и переходная, опре деляет свойства элемента в переходном режиме.
При анализе АС единичные функции и переходные характе ристики применяются при условии, если система работает с не прерывными воздействиями, а единичные импульсы и импульс ные характеристики — если она работает с импульсными воздействиями.
§ 2.4. ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Гармоническим воздействием (функцией) называется сину соидальное гармоническое колебание с постоянной амплитудой, которое может быть записано в виде:
л' (со, t) = X sin ((ot -f- ом), |
(2.14) |
|
где о) — круговая частота колебаний [рад)сек]; |
|
|
X — амплитуда |
колебаний; |
|
?вх — начальная |
фаза колебаний. |
|
Эта же функция может быть записана в комплексной форме:
, ,, v J(">С+?ВХ) v /?вх |
е |
jW |
v \ |
Jat |
, |
,п 1г, |
|
л (со, i) — Хе v |
’ — Хе |
|
= Х ( у « ) е |
|
(2. 15) |
||
где X (У<о) = X — Хе вх — комплексная амплитуда воздействия.
' |
. 2 7 |
При исследовании реакции системы (элемента) на синусои дальное входное воздействие представляет интерес лишь уста
новившееся |
значение выходной величины _ууст(У“ ), |
которое ха |
||||||
рактеризует |
вынужденнее |
колебания |
на |
выходе |
системы |
|||
(элемента). |
выходной величины |
в переходном |
процессе не |
|||||
Значение |
||||||||
представляет интереса, так как оно случайно |
и |
зависит от на |
||||||
чальной фазы входного сигнала фвх. |
характеристикой эле |
|||||||
Частотной, ила амплитудно-фазовой, |
||||||||
мента (разомкнутой системы) W (у'со) называется зависимость |
||||||||
отношения установившегося |
значения |
выходного |
воздействия |
|||||
к входному гармоническому воздействию от частоты, |
т. е. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l2I6> |
Пусть на вход системы (элемента) |
подано |
гармоническое |
||||||
воздействие x(a,t) — XeJ^ |
,вх\ |
Если |
система |
или |
элемент |
|||
линейные, то после окончания переходного процесса на выходе системы (элемента) установится режим вынужденных колеба ний и выходная величина также будет меняться по синусои дальному закону с той же частотой со, но с амплитудой Y и на чальной фазой срвых, отличными от амплитуды и фазы входного воздействия:
у (ш, t) = Ye ("'^?вых) - |
Yei4™'еЫ = |
Y (/со) |
(2.17) |
|
Входное и выходное воздействия |
могут |
быть |
представлены |
|
на временной диаграмме (рис. |
2.4), |
а также в виде векторов |
||
-V(со, V) и з>уст(со, t) на комплексной плоскости (рис. 2.5).
Рис. 2.4
•2S
Рис. 2.5
Для того, чтобы получить частотную характеристику элемен та (2.16), следует разделить значение выходного сигнала (2.17) на значение входного сигнала (2.15):•
Ууст К t) _ |
/со/ |
У О ) |
|
|
Y (/со) е |
(2. 18) |
|||
W (H = л'(со^) |
Х ( ^ ) е М |
X О ) ' |
||
|
Таким образом, частотная, или амплитудно-фазовая, харак теристика определяется как зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды синусоидальных колебаний на' выходе системы (элемента) к комплексной амплитуде синусоидальных колебаний сигнала на входе этой системы (элемента).
Частотная характеристика может быть представлена также в виде
W (jw) = |
J li< ± |
Y (co)e'R“l( * _ Y(со) j [? Вых (ш)—?зх (“ (] /0 10, |
|
X (у'со) |
|
т. е. для получения частотной характеристики элемента следует
Y (<о)
определить отношение амплитуд у -,■(■ и разность (сдвиг) фаз Л((0)
ВЫХОДНОГО |
И ВХОДНОГО сигналов ®вых (&>) — ?вх (и ) . |
||
На рис. |
2.5 |
частотная характеристика |
представлена в виде |
вектора W (уса) |
с модулем W (ю) = |
и аргументом (фа- |
|
зой) ® = ®вых (со) — фвх(ю), т. е. углом между направлением век тора и положительным направлением вещественной оси.
29