Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

ГЛАВА 4

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ОПЫТНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

§ 4.1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ

Обычно эти исследования начинают на этапе проектирования и за­ канчивают либо в процессе эксплуатации, либо после эксперимен­ тальных работ, организованных на средствах системы. На этапе проектирования в первую очередь решают вопросы выбора мето­ дов и способов реализации математических моделей при помощи вычислительных машин. При решении этих вопросов определяю­ щим фактором является ожидаемая сложность модели. В боль­ шинстве случаев этот фактор приводит к тому, что на этапе теоре­ тических исследований приходится рассматривать целый комплекс вопросов, связанных с поисками наиболее точных и в то же время достаточно простых в программном исполнении форм математиче­ ского описания процессов в исследуемых системах управления. На практике при изучении указанных вопросов обычно предполагает­ ся, что процессы в элементах исследуемой системы могут быть описаны с помощью решений дифференциальных, разностных или функциональных уравнений.

Среди названных способов наиболее общей формой описания процесса функционирования элементов сложных систем является непосредственное представление выходных характеристик с по­ мощью функционалов, определенных на некотором известном мно­ жестве входных функций.

При использовании такого явного описания зависимости между входом x(t) и выходом z(t) характеризация широкого класса не­ линейных элементов может быть выполнена с помощью функцио-' нальных рядов Вольтерра [19]:

В области определения каждого ядра Kj(xi, ..., Xj) его ортого­ нальное разложение по собственным функциям фт^т,) обычно за­ писывают в виде:

57

Однако при достаточно больших значениях / и Mj реализация ядер Вольтерра высокого порядка очень трудоемка. Поэтому при построении моделей элементов с использованием подобных функ­ циональных рядов нужно: 1) знать перспективы определения ядер по результатам натурных экспериментов; 2) найти такую конеч­ ную систему ортонормированных функций для каждого ядра Kj(xi, .... tj), чтобы достичь требуемой точности аппроксима­ ции каждого оператора преобразования и в то же время стремить­

том, что наилучшая аппроксимация состоит из первых упорядочен­ ных собственных значений и им соответствующих собственных функций. Однако каких-либо общих рекомендаций по методам решения всей задачи в целом в настоящее время не имеется, за исключением того, что для гауссовых сигналов задачу определения ядер второго порядка можно свести к нахождению собственных функций некоторого интегрального уравнения. В общем случае во­ просы выбора конечной системы собственных функций ядер /С3(ть ..., Tj), а также принципы конструирования ядер высших по­ рядков для гауссовых и негауссовых распределений из-за трудно­ стей решения возникающих сложных функциональных уравнений пока еще не ясны.

Многие реальные элементы удобнее, а иногда просто и необхо­

При использовании такого описания наиболее трудоемкой и наименее изученной операцией является задача определения для каждого элемента совокупности линейно независимых функций ср*, где i= l, 2,..., N (первый член разложения ряда Вольтерра позво­ ляет описывать процессы, происходящие в линейных элементах).

Часто для описания процессов используют системы дифферен­ циальных или разностных уравнений:

Ч-(4.1.5), в процессе разработки системы проводят эксперимен­ тальные исследования на элементах, а если удается, то и на сред­ ствах всей системы в условиях ее нормального функционирования. Исследования отличаются друг от друга охватом реальных средств системы и задачами, которые могут быть решены при их проведе­

58

нии, но несмотря на это, в результате получают информацию, в определенной степени характеризующую свойства всей сложной реальной системы. Чтобы объединить полученную информацию и тем самым подготовить условия для определения оцениваемых по­ казателей с максимальной точностью, на практике стремятся раз­ бить сложную систему на такую совокупность подсистем, которая бы наилучшим образом отображала работу и функциональное взаимодействие всех ее элементов, участвующих при постановке того или иного вида физического эксперимента. Структурное объ­ единение математических описаний этих подсистем с теми подси­ стемами, которые .по каким-либо причинам не исследовались в ходе физических экспериментов, но определяют процессы приня­ тия решений в ходе выполнения системой своего целевого назначе­ ния, и составляет моделирующий алгоритм системы.

Например, если каждый элемент системы, включая и модель взаимодействия подсистем, описывается с помощью линейных раз­ ностных или дифференциальных уравнений, то при составлении модели всей системы применим метод типовых звеньев. Суть этого метода состоит в том, что, используя описание каждого элемента, на основании формальных правил, которые соответствуют некото­ рым типовым соединениям (параллельное, последовательное и т. д.), определяют на основании законов операционного исчисле­ ния передаточную функцию всей замкнутой системы.

Обычно такой метод построения моделей сложных систем ис­ пользуют тогда, когда удается в достаточно малой области, чаще всего около установившегося режима работы системы, применить методы линеаризации и описать каждый элемент системы линей­ ными разностными или дифференциальными уравнениями. Одна­ ко такой способ создания динамических систем в некоторой степе­ ни условен, хотя и очень широко применяется при изучении про­ цессов в сложных системах.

Более точным является метод описания, основанный на непо­ средственном использовании тех нелинейных дифференциальных или разностных уравнений, которые на основании теоретических исследований являются наиболее адекватным описанием свойств каждого реального элемента системы. При таком описании систем не возникает ошибок из-за метода линеаризации, а если и услож­ няется программная реализуемость моделей, то она окупается уве­ ренностью в том, что из-за принятого описания не возникает оши­ бок в определении выходных характеристик всей сложной системы.

Но рассмотренные способы описания реальных элементов, а тем более способы образования моделей сложных систем, не охва­ тывают многих практически важных случаев. Данный вывод яв­ ляется следствием того, что обычно сложная система состоит из очень большого количества разнотипных элементов и подсистем, которые в процессе функционирования выполняют различные функ­ ции. По этим причинам при разработке моделирующего алгоритма сложной системы приходится-пользоваться более сложными мате­

59

матическими конструкциями: для описания процессов функциони­ рования и взаимодействия подсистем, наряду с функциональными операторами, использовать логические операторы; для имитации случайных процессов и последовательностей разрабатывать раз­ личного рода датчики случайных чисел; при анализе многоканаль­ ных систем привлекать схемы и методы описания, которые отно­ сятся к теории массового обслуживания и т. д.

Несмотря на такое значительное многообразие способов описа­ ния реальных процессов, практически все реальные системы могут

[1] (подсистемами подобных систем являются агрегаты). Процес­ сы преобразования входной информации в агрегатированных си­ стемах осуществляются с учетом текущего состояния каждого агре­ гата. В агрегатах формирование выходных сигналов происходит в соответствии с некоторым заданным алгоритмом, который учиты­ вает не только вероятностную природу функционирования элемен­ тов агрегата, но и реально существующие обратные связи. Част­ ными случаями агрегатированных систем являются системы: дина­ мические, массового обслуживания, кусочно-линейные, введенные

впрактику И. Н. Коваленко [14] и т. д.

Вобщем случае при использовании того или иного способа

описания реальных подсистем моделирующий алгоритм может быть записан с помощью операторных уравнений вида [4, 6]

(4.1.6)

где zг- — текущее состояние i-й подсистемы в момент t; гi(t0) — на­ чальное состояние i-й подсистемы в момент начала ее функциони­ рования i0; xLj (0 — вектор-функция, определяющая входной про­

цесс i-й подсистемы; (i, Xl;][o — входное сообщение для i-й под­

системы (входное сообщение определяется совокупностью упоря­ доченных пар (i, x L[) для всех ie7\-, где 7\ — множество моментов

времени, в которых рассматривается функционирование i-й под­ системы). В каждой /-й реализации на модели i-й подсистемы вектор-функцию xL; (t) выбирают из некоторого известного мно­

жества функций L*(i), t^Ti.

Для различных подсистем функциональные зависимости (4.1.6) будут получаться, естественно, отличными друг от друга. Совокуп­ ность всех функций xlj (i) в пространстве их определения

60